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Vidéo question :: Calcul de la somme d’une série géométrique finie Mathématiques • Deuxième année secondaire

La somme des termes d’une suite est appelée une série. Une série géométrique est la somme des termes d’une suite géométrique ; une série géométrique avec 𝑛 termes peut être écrite 𝑆_𝑛 = 𝑎 + 𝑎𝑟 + 𝑎𝑟² + 𝑎𝑟³ +... + 𝑎𝑟^ (𝑛 - 1), où 𝑎 est le premier terme et 𝑟 est la raison (le nombre qui multiplie un terme pour obtenir le terme suivant 𝑟 ≠ 1). Calculez la somme des 6 premiers termes d’une série géométrique avec 𝑎 = 24 et 𝑟 = 1/2.

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Transcription de la vidéo

La somme des termes d’une suite est appelée une série. Une série géométrique est la somme des termes d’une suite géométrique. Une série géométrique avec 𝑛 termes peut être écrite comme 𝑆 𝑛 est égale à 𝑎 plus 𝑎𝑟 plus 𝑎𝑟 au carré plus 𝑎𝑟 au cube, et ainsi de suite jusqu’à 𝑎𝑟 puissance 𝑛 moins un, où 𝑎 est le premier terme et 𝑟 est la raison ; le nombre qui multiplie un terme pour obtenir le terme suivant, mais 𝑟 ne peut pas être égal à un.

Avant d’examiner la question, nous allons passer en revue cette affirmation selon laquelle 𝑟 ne peut pas être égal à un. La raison ne peut pas être égale à un parce que si c’était le cas, vous auriez une suite qui ressemble à cela, ce qui signifie que si vous aviez 𝑎, 𝑎 fois un, 𝑎 fois un carré, 𝑎 fois un cube, vous obtiendrez toujours 𝑎, chaque terme serait 𝑎, donc ce ne serait pas une suite ; ce ne serait que la répétition d’un nombre.

Bien, regardons maintenant la dernière partie de la question : calculez la somme des six premiers termes d’une série géométrique avec 𝑎 est égal à 24 et 𝑟 est égal à un demi. Pour nous permettre de résoudre ce problème, nous devons utiliser cette formule, selon laquelle la somme des 𝑛 premiers termes est égale à 𝑎 multiplié par un moins 𝑟 à la puissance 𝑛 sur un moins 𝑟, encore une fois avec le paramètre 𝑟 qui ne peut pas être égal à un.

Nous avons discuté d’une des raisons pour lesquelles 𝑟 ne peut pas être égal à un si vous regardez chaque terme d’une suite, mais ce serait aussi le cas si vous regardez l’équation. Le dénominateur un moins 𝑟 serait égal à zéro et évidemment nous ne pouvons pas avoir ceci car cela ne nous donnerait pas une vraie solution.

Pour résoudre un problème comme celui-ci, nous allons utiliser une formule. J’écris les valeurs que nous avons et celles que nous recherchons. Ainsi, tout d’abord, nous savons que 𝑎 est égal à 24, donc notre premier terme est 24. Nous avons aussi 𝑟 est égal à un demi, nous savons donc que la raison est égale à un demi. Nous devrons également trouver 𝑛, comme vous pouvez le voir dans notre formule, ici, 𝑛 est égal à six car il s’agit du nombre de termes.

Si nous regardons notre énoncé, il est indiqué qu’il s’agit de six premiers termes. Enfin, la somme des six premiers termes, que nous écrivons 𝑆 six, est ce que nous cherchons à trouver dans la question.

Maintenant nous avons nos valeurs ; nous pouvons les substituer dans la formule pour trouver la somme des six premiers termes, ce qui nous donne 𝑆 six ou la somme des six premiers termes est égale à 24 multiplié par un moins un demi à la puissance six sur un moins un demi.

Nous allons simplifier cela, ce qui nous donne 189 sur huit divisé par un demi, ce qui nous donne 189 sur quatre, car rappelez-vous, une indication rapide, diviser par un demi revient à multiplier par deux. Enfin simplifiez-le en le convertissant en un nombre mixte ; cela nous donne la somme des six premiers termes de la série géométrique qui vaut 47 et un quart.

Encore une fois, la raison pour laquelle nous avons 47 et un quart est que quatre va dans 189 47 fois avec un restant, donc cela nous donne 47 et un quart.

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