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Vidéo question :: Déterminer la dérivée première d’une fonction à l’aide de la dérivation logarithmique Mathématiques • Troisième année secondaire

Déterminez d𝑦 / d𝑥 sachant que 𝑦 = (6𝑥⁹ + 7) ^ (8𝑥).

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Transcription de la vidéo

Déterminez d𝑦 sur d𝑥 sachant que 𝑦 est égal à six 𝑥 élevé à la puissance neuf plus sept tous élevés à la puissance huit 𝑥.

On nous demande de trouver la dérivée par rapport à 𝑥 d’une fonction composée 𝑦 égale six 𝑥 à la puissance neuf plus sept le tout à la puissance huit 𝑥. Et si l’exposant dans notre fonction était une constante, nous pourrions utiliser la règle de la dérivation en chaîne. Cependant, notre exposant est une fonction de 𝑥, ce qui signifie qu’aucune des règles habituelles de dérivation n’est valable. Nous allons donc devoir essayer autre chose pour trouver d𝑦 sur d𝑥. En fait, nous pouvons utiliser une méthode appelée dérivation logarithmique.

Si nous avons une expression 𝑦 égale 𝑓 de 𝑥, nous prenons le logarithme népérien des deux membres. Et rappelez-vous que le logarithme népérien est le logarithme en base 𝑒 où 𝑒 est le nombre d’Euler qui vaut 2,71828 au dix millièmes près. Et en utilisant le fait que les logarithmes transforment les puissances en produit et les produits en sommes, nous pouvons utiliser les propriétés des logarithmes pour développer. Notre expression est ensuite divisée en composantes qui facilitent la dérivation. Et une fois que nous avons dérivé, nous pouvons trouver d𝑦 sur d𝑥. Commençons donc à simplifier notre expression.

Notre première étape consiste à prendre les logarithmes népériens des deux membres. Cependant, nous devons souligner ici que cela n’est valable que pour 𝑦 supérieur à zéro. N’oubliez pas que le logarithme de zéro n’est pas défini et que la fonction logarithme n’existe pas pour les valeurs négatives. Pour couvrir les valeurs négatives, nous pourrions prendre le logarithme népérien des valeurs absolues de notre expression. Dans ce cas, nous pouvons spécifier que 𝑦 est différent de zéro. Cependant, dans notre cas, nous spécifierons simplement que 𝑦 est supérieur à zéro. Nous avons donc pris le logarithme népérien des deux membres, et notre deuxième étape consiste à utiliser les lois des logarithmes pour développer.

Dans notre cas, puisque notre expression implique un exposant, nous utilisons la règle de puissance pour les logarithmes. Elle dit que le logarithme de 𝑎 élevé à la puissance 𝑏 est 𝑏 fois le logarithme de 𝑎. C’est-à-dire que nous mettons l’exposant devant le logarithme. Notre exposant est huit 𝑥, donc sur notre droite, nous avons huit 𝑥 fois le logarithme de six 𝑥 élevé à la puissance neuf plus sept. Et bien que cela semble assez compliqué, nous pouvons maintenant dériver les deux membres. Sur le membre droit, nous pouvons utiliser les règles de dérivation en chaîne et du produit. Et sur le membre gauche, nous utilisons la dérivation implicite. Rappelez-vous, nous utilisons la dérivation implicite lorsque nous dérivons une fonction de 𝑦, pas simplement 𝑦. Et dans notre cas, nous avons le logarithme népérien de 𝑦 qui lui-même est fonction de 𝑥.

Donc, en général, si vous avez une fonction 𝑔 qui est une fonction de 𝑦 qui elle-même est une fonction de 𝑥, vous pouvez utiliser la règle de la dérivation en chaîne pour trouver d𝑔 sur d𝑥 qui est d𝑔 sur d𝑦 fois d𝑦 sur d𝑥. Nous allons également utiliser le résultat qui nous dit que d sur d𝑢 du logarithme de 𝑢 est un sur 𝑢 pour 𝑢 supérieur à zéro. Et en utilisant la notation 𝑓 prime égale d𝑓 sur d𝑥, la règle de dérivation du produit nous dit que la dérivée du produit 𝑓𝑔 est 𝑓 prime 𝑔 plus 𝑓𝑔 prime. Donc, sur notre gauche avec 𝑔 égale au logarithme népérien de 𝑦, et en utilisant notre résultat pour les logarithmes, nous avons la dérivée du logarithme népérien de 𝑦 qui est un sur 𝑦 fois d𝑦 sur d𝑥.

Alors maintenant, nous devons dériver le membre droit. Sur notre droite, si nous posons 𝑢 égal à huit 𝑥, 𝑣 égal à six 𝑥 élevé à la puissance neuf plus sept, et 𝑤 égal au logarithme népérien de 𝑣, alors d𝑢 sur d𝑥 est égal à huit, d𝑣 sur d𝑥 est égal à 54 fois 𝑥 élevé à la puissance huit et nous avons utilisé la règle de dérivation d’une puissance. Autrement dit, si nous avons une fonction 𝑎 fois 𝑥 élevée à la puissance 𝑛, alors la dérivée par rapport à 𝑥 est 𝑛𝑎𝑥 puissance 𝑛 moins un. Nous multiplions donc par l’exposant et enlevons un à l’exposant.

Et pour dériver 𝑤 par rapport à 𝑥, nous utilisons le fait que 𝑤 est une fonction de 𝑣 qui est une fonction de 𝑥, et donc nous utilisons la règle de dérivation en chaîne. Et puisque 𝑤 est le logarithme népérien de 𝑣, nous allons utiliser notre résultat sur les logarithmes. Nous avons donc d𝑤 sur d𝑣 est un sur 𝑣 et d𝑣 sur d𝑥 est 54𝑥 élevé à la puissance huit, que nous venons de calculer. Et puisque un sur 𝑣 est un sur six 𝑥 élevé à la puissance neuf plus sept, d𝑤 sur d𝑥 est 54𝑥 élevé à la puissance huit sur six 𝑥 élevé à la puissance neuf plus sept. Alors maintenant, c’est là que la règle de dérivation du produit entre en jeu pour le produit 𝑢 fois 𝑤.

Donc, dans la règle de dérivation du produit, si nous posons 𝑢 égal à 𝑓 et 𝑤 égal 𝑔, ce que nous devons trouver c’est 𝑢 prime 𝑤 plus 𝑢𝑤 prime. Donc, faisons un peu de place. Sur notre droite, nous voulons 𝑢 prime fois 𝑤, ce qui donne huit fois le logarithme népérien de six 𝑥 élevé à la puissance neuf plus sept, plus 𝑢 fois 𝑤 prime, ce qui donne huit 𝑥 fois 54𝑥 élevé à la puissance huit sur six 𝑥 élevé à la puissance neuf plus sept. Nous avons un facteur commun de huit, que nous pouvons sortir. Et en multipliant notre deuxième terme, notre exposant 𝑥 devient neuf.

Maintenant, rappelez-vous, nous essayons de trouver d𝑦 sur d𝑥. Et notre quatrième étape dans la dérivation logarithmique est de trouver d𝑦 sur d𝑥. Avec un sur 𝑦 d𝑦 sur d𝑥 sur le membre gauche, nous pouvons multiplier par 𝑦. Et notre 𝑦 sur le membre gauche se simplifie. Et donc nous avons d𝑦 sur d𝑥 égal à huit fois 𝑦 multiplié par le logarithme népérien de six 𝑥 élevé à la puissance neuf plus sept plus 54𝑥 élevé à la puissance neuf sur six 𝑥 élevé à la puissance neuf plus sept.

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