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Vidéo question :: Résoudre des équations trigonométriques impliquant des angles standards sous forme polynomiale Mathématiques • Première année secondaire

Déterminez l’ensemble solution de tan 𝜃² + tan 𝜃 = 0, où 0 ° ≤ 𝜃 < 360 °.

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Transcription de la vidéo

Déterminez l’ensemble solution de tangente au carré de 𝜃 plus tangente 𝜃 est égal à zéro, où 𝜃 est supérieur ou égal à zéro degré et strictement inférieur à 360 degrés.

Après inspection, nous voyons qu’il s’agit d’une équation du second degré en fonction de tangente 𝜃. Par conséquent, nous allons d’abord factoriser le côté gauche de notre équation, ce qui nous donne tangente 𝜃 fois tangente 𝜃 plus un est égal à zéro. Prendre chacun de ces facteurs et les mettre à zéro nous donne tangente 𝜃 est égal à zéro et tangente 𝜃 plus un est égal à zéro. En soustrayant un des deux côtés de notre deuxième équation, nous obtenons tangente de 𝜃 égal à moins un. Nous avons maintenant deux solutions : tangente de 𝜃 est égal à zéro ou tangente de 𝜃 est égal à moins un.

Rappelons le graphique d’une fonction tangente. Vous pouvez soit utiliser une calculatrice ou un ordinateur pour trouver un tracé du graphique 𝑦 est égal à tangente de 𝑥. En inspectant le graphique, nous voyons que la fonction tangente est égale à zéro en zéro degré, 180 degrés et 360 degrés. Cependant, nous ne sommes intéressés que par les valeurs de 𝜃 strictement inférieures à 360 degrés. Cela signifie que nous exclurons 𝜃 égal à 360 degrés. Pour l’intervalle 𝜃 est supérieur ou égal à zéro mais strictement inférieur à 360, tangente de 𝜃 est égal à zéro en zéro degré et en 180 degrés.

Ensuite, nous considérerons les endroits où tangente de 𝜃 est égal à moins un. Nous voyons que cela se produit quelque part entre 90 degrés et 180 degrés et encore quelque part entre 270 degrés et 360 degrés. Seulement, pour les identifier plus précisément, nous devrons utiliser une autre méthode. Nous pouvons prendre la tangente réciproque des deux côtés de la deuxième équation. 𝜃 est égal à la tangente réciproque de moins un, c’est-à-dire à moins 45 degrés.

Moins 45 degrés est en dehors de l’intervalle pour 𝜃, mais rappelons que la période de la fonction tangente est de 180 degrés. Nous pouvons donc dire que tangente de 𝜃 est égal à tangente de 180 degrés plus 𝜃. 180 degrés plus moins 45 degrés est égal à 135 degrés. 135 degrés correspondent à ce que nous voyons sur le graphique. Nous allons effectuer ce processus une fois de plus. Nous allons dire que 𝜃 sera également égal à 135 degrés plus 180 degrés, ce qui est égal à 315 degrés. Cela correspond au trace de tangente de 𝑥 sur le graphique.

Dans l’intervalle donné, tangente de 𝜃 est égal à zéro en zéro degré et en 180 degrés et tangente de 𝜃 est égal à moins un en 135 degrés et 315 degrés.

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