Transcription de la vidéo
𝐴𝐵𝐶𝐷 est un parallélogramme vecteur 𝐴𝐵 égale moins un, un, trois et vecteur 𝐴𝐷 égale trois, quatre, un. Déterminez l’aire de 𝐴𝐵𝐶𝐷. Donnez votre réponse au dixième près.
Dans cette question, on nous dit que 𝐴𝐵𝐶𝐷 est un parallélogramme. Alors commençons par le dessiner. Voici notre parallélogramme. On doit maintenant nommer ses sommets. Une fois qu’on a choisi le sommet 𝐴, il ne nous reste plus que deux options pour le sommet 𝐵. Il doit être adjacent au sommet 𝐴. Donc le sommet 𝐵 doit être ce sommet, ou celui-ci. Une fois qu’on a choisi les sommets 𝐴 et 𝐵, on n’a plus le choix pour les sommets 𝐶 et 𝐷. Car 𝐶 doit être adjacent à 𝐵. Il n’y a maintenant plus qu’un seul sommet disponible pour le sommet 𝐷. Si on fait le tour de notre parallélogramme en partant de 𝐴, on passe d’abord par 𝐵, puis par 𝐶 et 𝐷, avant de revenir en 𝐴. Autrement dit, lorsqu’on fait le tour du parallélogramme, l’ordre des sommets est le même que dans le nom du parallélogramme 𝐴𝐵𝐶𝐷.
Très bien, à présent quelles sont les autres informations dont on dispose ? On nous donne les composantes du vecteur 𝐴𝐵. Alors notons-les sur notre diagramme, ainsi que les composantes du vecteur 𝐴𝐷. Et que cherchons-nous? On veut déterminer l’aire du parallélogramme 𝐴𝐵𝐶𝐷.
Pour calculer cette aire, on va utiliser le fait que la norme du produit vectoriel de deux vecteurs 𝑢 et 𝑣 est égale à l’aire du parallélogramme dont les côtés adjacents sont 𝑢 et 𝑣. On cherche à déterminer l’aire du parallélogramme dont les côtés adjacents sont les vecteurs de composantes moins un, un, trois et trois, quatre, un. Et d’après la règle ci-dessus, cette aire est la norme du produit vectoriel des deux vecteurs. Faisons un peu de place pour calculer cette norme.
Bien sûr, pour déterminer la norme du produit vectoriel, on doit d’abord déterminer le produit vectoriel lui-même. Ce produit vectoriel peut s’écrire comme le déterminant d’une matrice trois fois trois dont la première ligne est constituée des vecteurs 𝑖, 𝑗 et 𝑘, soit les vecteurs unitaires dans les directions 𝑥, 𝑦 et 𝑧 respectivement. La deuxième ligne de la matrice contient les composantes du premier vecteur de notre produit vectoriel : moins un, un et trois. Et la troisième ligne contient les composantes du second vecteur : trois, quatre et un.
On développe le déterminant par rapport à la première ligne. On évalue chacun des déterminants deux fois deux et on obtient moins 11𝑖 plus 10𝑗 moins sept 𝑘, ou bien sous forme de composantes, moins 11, 10, moins sept. On a déterminé le produit vectoriel de nos deux vecteurs et on sait que l’aire du parallélogramme est égale à la norme de ce produit vectoriel. Donc on doit calculer la norme du vecteur de composantes moins 11, 10 et moins sept.
Cette norme est simplement égale à la racine carrée de la somme des carrés des composantes du vecteur. Donc elle est égale à la racine carrée de moins 11 au carré plus 10 au carré plus moins sept au carré. C’est exactement la racine carrée de 270 ou trois fois la racine carrée de 30. Mais on ne nous demande pas la réponse exacte. On nous demande la réponse arrondie au dixième. Au dixième près, la racine carrée de 270 est égale 16,4. Donc l’aire de notre parallélogramme 𝐴𝐵𝐶𝐷 est de 16,4 unités au dixième près.
On a obtenu ce résultat en calculant la norme du produit vectoriel des vecteurs de deux côtés adjacents du parallélogramme. Et les composantes de ces deux vecteurs étaient directement données dans l’énoncé. Notons qu’au lieu de cela, on aurait par exemple pu nous donner les composantes de l’une des diagonales, 𝐴𝐶 ou 𝐵𝐷. Et pour nous assurer que les vecteurs qui nous étaient donnés dans la question étaient les vecteurs de deux côtés adjacents. Nous avons fait attention à bien nommer correctement les sommets de notre parallélogramme.
Le parallélogramme que je viens de dessiner n’est pas un dessin correct du parallélogramme 𝐴𝐵𝐶𝐷. En parcourant les sommets dans l’ordre, on obtient 𝐴𝐵𝐷𝐶 ou 𝐴𝐶𝐷𝐵, mais on ne peut pas obtenir 𝐴𝐵𝐶𝐷. Si on était parti de ce diagramme incorrect, on aurait obtenu une réponse incorrecte, c’est pourquoi on a d’abord pris le temps de nommer nos sommets correctement.