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Vidéo de question : Déterminer la forme trigonométrique des nombres complexes représentés sur le plan complexe Mathématiques

Déterminez la forme trigonométrique du nombre complexe 𝑍 représenté sur le plan complexe.

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Transcription de vidéo

Déterminez la forme trigonométrique du nombre complexe 𝑍 représenté sur le plan complexe.

Nous commençons par rappeler que la forme trigonométrique d’un nombre complexe s’écrit 𝑍 est égal à 𝑟 multiplié par cosinus 𝜃 plus 𝑖 sinus 𝜃, où 𝑟 est la norme ou la longueur du nombre complexe et 𝜃 est son argument. Sur la figure, nous pouvons voir que 𝑟, la norme de 𝑍, est égale à quatre. Trouver la valeur de 𝜃 est cependant plus compliqué. Il s’agit de l’angle que 𝑍 forme avec l’axe des réels positifs. Nous rappelons que les angles mesurés dans le sens trigonométrique sont positifs et que les angles mesurés dans le sens horaire sont négatifs. Cela signifie que nous pourrions ajouter les angles de zéro à 360 degrés sur notre figure de sorte que 𝑍 forme un angle de 300 degrés dans la direction positive. De même, si nous considérons la direction négative, nous voyons que 𝑍 forme un angle de moins 60 degrés par rapport à l’axe des réels positifs.

Nous avons maintenant deux valeurs possibles de 𝜃. Cependant, l’argument de tout nombre complexe doit être écrit en radians de sorte que 𝜃 soit strictement supérieur à moins 𝜋 et inférieur ou égal à 𝜋. En rappelant que 𝜋 radians est égal à 180 degrés, nous pouvons ajouter 𝜋 sur deux, 𝜋 et moins 𝜋 sur deux au diagramme. En divisant par trois, nous voyons que 𝜋 sur trois radians est égal à 60 degrés, et qu’en tant que tel, 𝜃 - l’argument de 𝑍 - est égal à moins 𝜋 sur trois.

La forme trigonométrique du nombre complexe 𝑍 représenté dans le plan complexe est 𝑍 est égal à quatre multiplié par cosinus de moins 𝜋 sur trois plus 𝑖 sinus moins 𝜋 sur trois.

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