Transcription de la vidéo
La pente au point 𝑥, 𝑦 sur le graphique d’une fonction est de six 𝑒 à la puissance 𝑥 plus deux. Que vaut 𝑓 de 𝑥, étant donné que 𝑓 du logarithme népérien de cinq est égale à un ?
Nous avons des informations sur la pente en un point quelconque de coordonnées 𝑥, 𝑦. Et, en fait, si vous vous rappelez, nous pouvons trouver une expression pour la pente de la courbe d’une fonction 𝑓 de 𝑥 en trouvant sa dérivée. Cela signifie que pour une fonction 𝑓 de 𝑥, sa dérivée 𝑓 prime de 𝑥 en tout point 𝑥, 𝑦 sera définie ici par six 𝑒 à la puissance 𝑥 plus deux. Maintenant, que savons-nous de la relation entre 𝑓 de 𝑥 et 𝑓 prime de 𝑥 ?
Eh bien, 𝑓 prime de 𝑥 est la dérivée de notre fonction. Mais nous savons aussi que le contraire de la dérivation est l’intégration. Et donc, si nous intégrons 𝑓 prime de 𝑥 par rapport à 𝑥, nous trouverons une solution générale pour 𝑓 de 𝑥. Nous utiliserons ensuite le fait que 𝑓 du logarithme népérien de cinq est égale à un pour trouver une solution particulière. Donc, intégrons six 𝑒 à la puissance 𝑥 plus deux.
Commençons par rappeler que l’intégrale de 𝑒 à la puissance 𝑥 est 𝑒 à la puissance 𝑥. Ensuite, l’intégrale de deux est deux 𝑥. Maintenant, bien sûr, nous travaillons avec une intégrale indéfinie. Nous avons donc besoin d’une constante d’intégration. Et nous pouvons dire que notre fonction est définie comme 𝑓 de 𝑥 égale six 𝑒 à la puissance 𝑥 plus deux 𝑥 plus une constante 𝑐. Maintenant, nous avons dit que 𝑓 du logarithme népérien de cinq est égale à un. En d’autres termes, lorsque 𝑥 est égale au logarithme népérien de cinq, 𝑓 de 𝑥 est égal à un. Donc, nous remplaçons 𝑓 de 𝑥 par un. Et puis, chaque fois que nous voyons un 𝑥 dans notre équation, nous le remplaçons par le logarithme népérien de cinq.
Ainsi, un est égal à six 𝑒 à la puissance du logarithme népérien de cinq plus deux fois le logarithme népérien de cinq plus 𝑐. Bien sûr, 𝑒 à la puissance du logarithme népérien de cinq vaut cinq. Ainsi, six 𝑒 à la puissance du logarithme népérien de cinq est six fois cinq, soit 30. Nous voyons maintenant que nous pouvons trouver 𝑐 en soustrayant 30 et deux fois le logarithme népérien de cinq des deux membres de notre équation. Et quand nous le faisons, nous constatons que 𝑐 est égale à moins 29 moins deux fois le logarithme népérien de cinq.
Nous revenons ensuite à la solution générale pour 𝑓 de 𝑥, et nous remplaçons 𝑐 par moins 29 moins deux fois le logarithme népérien de cinq. Nous avons donc trouvé 𝑓 de 𝑥. C’est six 𝑒 à la puissance 𝑥 plus deux 𝑥 moins 29 moins deux fois le logarithme népérien de cinq.