Transcription de la vidéo
Soit 𝐴𝐵𝐶 un triangle tel que l’angle 𝐴 mesure 70 degrés, 𝐵𝐶 mesure trois centimètres et 𝐴𝐶 mesure 39 centimètres. Si le triangle existe, alors déterminez toutes les valeurs possibles des autres longueurs et angles du triangle 𝐴𝐵𝐶. Donnez les longueurs au centième près et les mesures des angles au degré près.
Commençons par dessiner ce triangle d’après les informations fournies. On nous demande, si ce triangle existe, de trouver les autres côtés et angles. Pour trouver les côtés ou angles inconnus dans un triangle comme celui-ci, nous utilisons souvent les lois des sinus et des cosinus. Mais ici, puisque nous avons deux côtés et un angle qui n’est pas entre ces deux côtés, nous utiliserons la loi des sinus. Pour rappel, elle donne sinus 𝐴 sur 𝑎 égale sinus 𝐵 sur 𝑏 égale sinus 𝐶 sur 𝑐, où 𝐴, 𝐵, 𝐶 majuscules sont les angles à ces sommets respectifs et 𝑎, 𝑏, 𝑐 minuscules sont les longueurs respectives des côtés opposés à ces angles.
Ainsi, ici, nous avons l’angle 𝐴 qui mesure 70 degrés. Ainsi, ce côté ici est 𝑎 minuscule, donc 𝑎 minuscule est égal à trois. Nous avons aussi ce côté qui est 𝑏, de longueur 39. Ainsi, puisque nous avons l’angle 𝐴, le côté 𝑎 et le côté 𝑏, nous allons commencer par chercher l’angle 𝐵. Nous allons donc utiliser le fait que sinus 𝐴 sur 𝑎 est égal à sinus 𝐵 sur 𝑏. Remplaçons les valeurs que nous connaissons. Nous obtenons sinus 70 sur trois égale sinus 𝐵 sur 39. En réécrivant l’égalité, nous obtenons que le sinus de 𝐵 est égal à 39 multiplié par sinus 70 sur trois. Nous obtenons donc que le sinus de 𝐵 vaut 12,22 à deux décimales près.
Cependant, il y a un petit problème ici. La valeur d’un sinus ne peut jamais être supérieure à un. Si nous essayons quand même de trouver la valeur de l’angle 𝐵, en prenant la réciproque du sinus de 12,22, nous nous retrouvons avec un message d’erreur. Nous le voyons au fait que le sinus d’un angle est égal au côté opposé sur l’hypoténuse. Or, l’hypoténuse est toujours le côté le plus long d’un triangle rectangle. Ainsi, l’hypoténuse est toujours plus longue que le côté opposé. L’hypoténuse étant donc plus longue que le côté opposé, le côté opposé sur l’hypoténuse ne peut pas être supérieur à un.
Or, nous voyons ici que si nous traçons la hauteur issue de l’angle 𝐶 sur le côté 𝐴𝐵 et puisque nous savons que le sinus d’un angle est le côté opposé sur l’hypoténuse, en utilisant le triangle rectangle à gauche, nous obtenons que sinus de 70 est égal au côté opposé sur 39. Nous pouvons réécrire cela et nous trouvons que le côté opposé mesure 36,65 centimètres, au centième près. Ainsi, si ce côté mesure effectivement 36,65 centimètres, alors le triangle rectangle à droite a une hypoténuse de longueur trois et un côté opposé de longueur 36,65. Seulement, cela ne peut pas fonctionner puisque nous savons que l’hypoténuse est toujours le côté le plus long d’un triangle rectangle. Ainsi, la figure n’est pas possible et donc ce triangle n’existe pas.