Vidéo : La divisibilité surprenante des nombres

Dans cette vidéo, on observe la divisibilité des entiers naturels positifs, et on fait une investigation sur le fait que beaucoup de nombres de six chiffres sont divisibles par 143.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons observer la divisibilité des nombres et découvrir quelques résultats surprenants. Pensons aux entiers naturels positifs : un, deux, trois, quatre, cinq, et ainsi de suite. On les appelle les entiers naturels, et on a ce symbole spécial qui représente ces entiers naturels. Maintenant, les propriétés que nous allons observer dans cette vidéo marchent aussi avec les entiers naturels négatifs, mais ne nous préoccupons pas de ça maintenant.

Quelle est la proportion des entiers naturels divisibles par deux ? En fait, tout autre nombre est un multiple de deux : deux, quatre, six, huit, 10, ainsi de suite. Donc la moitié des entiers naturels est divisible par deux. Si vous sélectionnez un entier naturel au hasard, dans la moitié des cas vous obtiendrez un nombre divisible par deux, et dans l’autre moitié des cas vous obtiendrez un nombre qui n’est pas divisible par deux.

Bon, pensons à la proportion des nombres divisibles par trois. En fait, tout troisième nombre est divisible par trois. Donc un tiers des nombres est divisible par trois. Si je demande à tous ceux qui sont en train de regarder cette vidéo de choisir un entier naturel au hasard, le tiers choisiront un nombre divisible par trois. On peut aussi voir que le quart des entiers naturels est divisible par quatre, le cinquième est divisible par cinq, est ainsi de suite.

Faisons donc une expérience. Franchement, ça marche mieux si vous êtes en groupe de 30 personnes ou plus, et peut-être que quelques-uns parmi vous sont dans une classe par exemple. Vous aurez besoin d’une calculatrice, donc si vous n’en avez pas, mettez la vidéo en pause et allez chercher une. Bien ! Je veux que vous choisissiez au hasard un nombre de trois chiffres, par exemple, un deux trois ; mais je suis sûr que penserez à quelque chose beaucoup plus original que ceci. Tapez-le sur votre calculatrice. Maintenant pour rendre cela plus intéressant avec de plus grands nombres, répétez ces trois chiffres pour former un nombre de six chiffres. Donc mon un deux trois devient un deux trois un deux trois, par exemple.

Et maintenant, nous avons un nombre naturel aléatoire formé de six chiffres. Maintenant, la moitié d’entre vous doit avoir un nombre divisible par deux, le tiers un nombre divisible par trois, le quart un nombre divisible par quatre, et ainsi de suite. Mais quelle proportion d’entre vous aura un nombre divisible par sept ? Est-ce un septième ? Essayez de diviser votre nombre de six chiffres par sept. Est-ce que le résultat est un nombre entier ? Je parie qu’il l’est pour vous tous. Donc cette proportion est un, un 100 pourcent d’entre vous a un nombre divisible par sept.

Bien, remettez votre calculatrice à zéro et retapez ce nombre de six chiffres. Quelle proportion d’entre vous a un nombre divisible par 91 ? Divisez donc ce nombre par 91 et vérifiez si vous obtenez un nombre entier. Vous pensez que la réponse sera un 91ème, environ un pourcent, mais la proportion est un, cent pour cent. Vous devez tous avoir un nombre qui est divisible par 91.

Bien, un dernier tour, remettez votre calculatrice à zéro ; retapez ce nombre de six chiffres. Et la nouvelle question est, quelle proportion d’entre vous a un nombre qui est divisible par 143 ? Alors, c’est certainement le 143ème d’entre vous, un peu plus qu’un demi pourcent. Mais divisez ce nombre par 143, je pense que vous obtiendrez tous un nombre entier. La proportion est un, un 100 pourcent, vous tous. Alors pourquoi nos correctes proportions de divisibilité sont en train de craquer ? C’est bizarre, non ? Ou peut-être pas.

Pensons à ce qui s’est passé lorsque je vous avais demandé de répéter votre nombre aléatoire de trois chiffres afin de former un nouveau nombre de six chiffres. Nous commençons donc avec un nombre de trois chiffres. Dans mon cas, le un était dans la colonne des centaines, le deux dans la colonne des dizaines et le trois dans la colonne des unités. Si je multiplie cela par 1000, j’obtiendrai 123000. 1000 fois 100 est 100000, 1000 fois 10 est 10000, et 1000 fois un est 1000. Ainsi, tous ces chiffres se sont déplacés vers des colonnes dont la valeur de position est 1000 fois plus grande.

Maintenant, si j’ajoute à nouveau mon nombre initial, j’obtiens 123123. Donc ce que j’ai fait c’est que j’ai pris mon nombre de départ, je l’ai multiplié par 1000 puis ajouté un autre. J’ai 1001 de ces nombres. Ce que j’ai fait c’est multiplier mon nombre original par 1001. Cela veut dire que la répétition de ces chiffres semblant innocente signifie en fait multiplier votre nombre par 1001.

Maintenant, faisons une rapide déviation. Vous avez probablement entendu parler des nombres premiers : ce sont des entiers naturels qui possèdent exactement deux facteurs. Vous avez peut-être utilisé la définition disant qu’ils sont des nombres qui sont seulement divisibles par un et par eux-mêmes, mais faites attention car un n’est pas un nombre premier puisqu’il n’a qu’un seul facteur – un. Donc les nombres premiers sont deux, trois, cinq, sept, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, et ainsi de suite.

Maintenant, vous serez peut-être surpris d’apprendre que tous les entiers naturels supérieurs à un peuvent être exprimés comme un produit de quelques nombres premiers. Par exemple, 210, et deux fois 105 égale 210, et rappelez-vous que deux est un nombre premier. Et 105 peut-être exprimé comme trois fois 35, et trois est un nombre premier. Et 35 est cinq fois sept, et tous les deux, cinq et sept, sont des nombres premiers. Ainsi, deux fois trois fois cinq fois sept est 210. Et on appelle deux fois trois fois cinq fois sept le produit des facteurs premiers de 210.

Ce qui est un peu surprenant c’est que quel que soit le nombre avec lequel vous commencez, vous pouvez toujours trouver un groupe de nombres premiers dont le produit donnera ce nombre, tant que vous que commencez avec un nombre entier supérieur à un. Faisons de même avec 1001. Alors, sept fois 143 est 1001, et sept est un nombre premier. Et 11 fois 13 est 143, et tous les deux sont aussi des nombres premiers. Donc sept fois 11 fois 13 égale 1001 ; c’est le produit des facteurs premiers de 1001.

Maintenant si nous repensons à notre nombre de six chiffres, qui est 1001 fois notre nombre de trois chiffres, on peut l’écrire de cette manière. Avec 1001 égale sept fois 11 fois 13, on peut remplacer le 1001 par sept fois 11 fois 13. Heureusement, on peut voir que notre nombre de six chiffres est certainement divisible par sept car il est sept fois quels que soient les autres nombres.

C’est ainsi que j’ai su que tous vos nombres seront divisibles par sept. Mais la multiplication est commutative, ce qui est une façon plus relevée de dire que nous obtiendrons la même réponse, quel que soit l’ordre avec lequel on multiplie ces nombres. Alors au lieu d’écrire sept fois 11 fois 13 fois 123, je peux écrire sept fois 13 fois 11 fois 123. Et puisque sept fois 13 égale 91, j’ai su que votre nombre de six chiffres équivalait à 91 fois quelque chose. Autrement dit, il était divisible par 91 ou bien je pouvais multiplier le 13 par le 11 pour obtenir 143, et cela m’a dit que votre nombre était divisible par 143.

Donc avec quelques connaissance mathématique et capacités d’analyse, nous avons résolu notre petit mystère. En réfléchissant bien aux opérations mathématiques qu’il a fallu appliquer pour obtenir le nombre de six chiffres à partir de notre nombre initial de trois chiffres, on a pu voir que nous avions simplement multiplier par 1001. Et en utilisant le fait que tous les entiers naturels supérieurs à un peuvent être décomposés en un produit de facteurs premiers, on peut dire que 1001 équivaut à sept fois 11 fois 13. Et en combinant ces facteurs premiers de différentes manières, on peut voir que notre nos nombres de six chiffres seront tous divisibles par sept, 11, 13, et sept fois 11, donc 77, et sept fois 13, donc 91, et 11 fois 13, donc 143, et bien sûr sept fois 11 fois 13, qui donne 1001.

J’ai alors choisi soigneusement ces nombres pour vérifier avec vous la divisibilité, donc je savais qu’ils seront tous des facteurs de vos nombres. Si j’avais choisi n’importe quels autres facteurs pour vérifier, alors les normales proportions de divisibilité se seraient appliquées. Si j’avais choisi 12, alors seulement le 12ème d’entre vous auraient eu des nombres divisibles par 12. Si j’avais choisi 142, alors seulement le 142ème d’entre vous auraient eu des nombres divisibles par 142. Donc cette divisibilité surprenante n’est pas si surprenante après tout.

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