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Vidéo question :: Déterminer le développement de (𝑎 + 𝑏)^(𝑛) + (𝑎 - 𝑏)^(𝑛) Mathématiques • Troisième année secondaire

Évaluez (√(3) + 1)³ + (√(3) - 1)³ en utilisant la formule du développement du binôme de Newton.

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Transcription de la vidéo

Évaluez racine carrée de trois plus un au cube plus racine carrée de trois moins un au cube en utilisant la formule du développement du binôme de Newton.

Nous allons commencer par rappeler cette formule. Pour les valeurs positives entières de 𝑛, la formule du binôme de Newton nous indique que 𝑎 plus 𝑏 à la puissance 𝑛 est donné par la somme de 𝑘 égale zéro à 𝑛 de 𝑘 parmi 𝑛 fois 𝑎 à la puissance 𝑛 moins 𝑘 fois 𝑏 à la puissance 𝑘. Maintenant, cela peut être assez difficile à calculer. Donc, nous pourrions envisager, alternativement, sa forme développée. C’est 𝑎 à la puissance 𝑛 plus un parmi 𝑛 𝑎 à la puissance 𝑛 moins un 𝑏 plus deux parmi 𝑛 𝑎 à la puissance 𝑛 moins deux 𝑏 au carré jusqu’à 𝑏 à la puissance 𝑛. Remarquez comment l’exposant de 𝑎 ou la puissance de 𝑎 diminue de un à chaque fois, alors que la puissance de 𝑏 augmente de un à chaque fois.

Commençons donc par la racine carrée de trois plus un au cube. Nous allons définir 𝑎 comme racine de trois ; 𝑏 est un. Et nous élevons cela à la puissance trois, donc 𝑛 est égal à trois. Notre premier terme est 𝑎 à la puissance 𝑛. Donc, c’est la racine carrée de trois au cube. Notre deuxième terme est un parmi 𝑛. C’est un parmi trois fois la racine carrée de trois au carré fois un. Nous réduisons de un la puissance de la racine carrée de trois et augmentons de un la puissance du nombre un. Donc, notre troisième terme est deux parmi trois racine de trois fois un au carré. Puis, notre dernier terme est un au cube.

Nous allons maintenant déterminer chaque partie de ce développement. Écrivons la racine carrée de trois au cube comme la racine carrée de trois au carré multipliée par la racine carrée de trois. Maintenant, la racine carrée de trois au carré est simplement trois. Donc, notre premier terme est trois racine de trois. La racine carrée de trois au carré fois un est trois, donc notre deuxième terme devient un parmi trois fois trois. Mais que vaut un parmi trois ? Nous rappelons que 𝑟 parmi 𝑛 est factorielle 𝑛 sur factorielle 𝑟 fois factorielle 𝑛 moins 𝑟. Cela signifie que un parmi trois est factorielle trois sur factorielle un fois factorielle trois moins un ou factorielle trois sur factorielle un fois factorielle deux.

Nous rappelons cependant que factorielle trois est trois fois deux fois un et factorielle deux est deux fois un. Donc, nous voyons que nous pouvons diviser par factorielle deux, et un parmi trois est, par conséquent, trois divisé par un, ce qui vaut trois. Donc, notre deuxième terme se simplifie en trois fois trois, ce qui correspond à neuf. En fait, deux parmi trois vaut trois aussi. Donc, notre troisième terme est trois racine de trois. Et notre quatrième terme est un au cube, ce qui vaut un. Nous voyons que cela se simplifie très bien en six racine de trois plus 10.

Maintenant, nous allons répéter cette démarche pour la racine carrée de trois moins un. Maintenant, remarquez que c’est presque identique à notre développement précédent, mais cette fois 𝑏 est égal à moins un. Ainsi, lorsque nous développons, nous obtenons racine de trois au cube plus un parmi trois racine de trois au carré fois moins un plus deux parmi trois racine de trois fois moins un au carré plus moins un au cube. Cela devient trois racine de trois moins neuf plus trois racine de trois moins un. Et cela se simplifie en six racine de trois moins 10.

La question nous demande de déterminer la somme de ces développements. Donc, c’est six racine de trois plus 10 plus six racine de trois moins 10. Maintenant, il devrait être assez clair que plus 10 moins 10 égale zéro. Donc, nous obtenons six racine de trois plus six racine de trois, soit 12 racine de trois. Voilà donc, nous avons terminé. La racine carrée de trois plus un au cube plus la racine carrée de trois moins un au cube est 12 racine de trois.

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