Transcription de la vidéo
Lequel des choix suivants est le vecteur directeur de la droite d'intersection entre les deux plans 𝑥 plus trois 𝑦 plus 𝑧 moins deux égale zéro et 𝑥 plus trois 𝑦 moins trois 𝑧 plus deux égale zéro ? Est-ce (A) moins trois, moins un, zéro ? Ou (B) moins trois, moins un, trois. (C) Moins trois, un, trois. Ou (D) un, neuf, moins trois. Ou (E) moins trois, un, zéro.
On nous donne les équations de deux plans sous forme cartésienne. Nous les appellerons P un et P deux. On sait que si deux plans ont des vecteurs normaux non colinéaires, ils se croisent en une droite et que cette droite est l'ensemble des solutions de l'ensemble des équations P un et P deux. On nous demande maintenant laquelle des options données (A), (B), (C), (D) ou (E) est le vecteur directeur de la droite d'intersection, où le vecteur directeur est un vecteur qui est colinéaire à et dans le sens de la droite d'intersection. Ce vecteur directeur est obtenu en effectuant le produit vectoriel des vecteurs normaux de chacun des deux plans. On peut trouver les vecteurs normaux 𝑛 un et 𝑛 deux en indiquant les coefficients des variables dans les équations des deux plans. 𝑛 un a pour composantes un, trois, et un. Et 𝑛 deux a pour composantes un, trois, et moins trois.
On peut calculer leur produit vectoriel en évaluant le déterminant de la matrice trois fois trois dont la première ligne est constituée des vecteurs unitaires 𝐢, 𝐣 et 𝐤 et dont les deuxième et troisième lignes sont les deux vecteurs normaux. Et on peut calculer cela en développant suivant la première ligne pour donner le déterminant de la matrice par fois deux avec les éléments trois, un, trois, moins trois fois 𝐢 moins le déterminant de la matrice deux par deux avec les éléments un, un, un, moins trois fois 𝐣 plus le déterminant de la matrice avec les éléments un, trois, un, trois fois le vecteur unitaire 𝐤.
Et en rappelant que le déterminant d'une matrice par fois deux dont les éléments sont 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 est 𝑎𝑑 moins 𝑏𝑐, cela nous donne trois fois moins trois moins un fois trois fois 𝐢 moins un fois moins trois moins un fois un fois 𝐣 plus un fois trois moins trois fois un fois 𝐤. Ce qui donne moins neuf moins trois 𝐢 moins moins trois moins 𝐣 plus trois moins trois 𝐤. Ce qui donne la valeur moins 12𝐢 plus quatre 𝐣. Et puisque trois moins trois égale zéro, le coefficient de 𝐤 est zéro. On a donc trouvé notre vecteur directeur 𝐝 sous forme de composantes. Et en faisant de l’espace, on peut écrire cela sous forme vectorielle moins 12, quatre, zéro, et de même sous forme de vecteur colonne.
On voit que cela ne correspond à aucune des cinq options (A), (B), (C), (D), ou (E). Mais en remarquant qu'il y a un facteur commun de quatre dans les deux premières composantes, on peut prendre ce facteur scalaire à l'extérieur de sorte que nous avons 𝐝 égale quatre fois le vecteur colonne dont les composantes sont moins trois, un et zéro. Puisque quatre est un multiple scalaire et que tout multiple scalaire non nul de ce vecteur est un vecteur directeur de la droite, on voit que notre vecteur directeur correspond en fait à l'option (E). Et donc, le vecteur directeur de la droite d'intersection entre les deux plans est l'option (E). C'est le vecteur colonne moins trois, un, zéro.