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Vidéo question :: Déterminer la dérivée d’une fonction cubique Mathématiques • Deuxième année secondaire

Déterminez l’expression de la dérivée de la fonction définie par 𝑓 (𝑡) = 2𝑡³ + 8𝑡 - 1 en utilisant la définition de la dérivée.

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Transcription de la vidéo

Déterminez l’expression de la dérivée de la fonction définie par 𝑓 de 𝑡 est égal à deux 𝑡 au cube plus huit 𝑡 moins un en utilisant la définition de la dérivée.

La question nous demande de trouver la dérivée de la fonction 𝑓 de 𝑡. Elle nous demande de le faire en utilisant la définition de la dérivée. Commençons donc par rappeler la définition de la dérivée. Nous disons que pour une fonction 𝑔 de 𝑥 et un certain point 𝑥 zéro, la dérivée de 𝑔 de 𝑥 en 𝑥 zéro est définie de la manière suivante. 𝑔 prime de 𝑥 zéro est égal à la limite lorsque ℎ tend vers zéro de 𝑔 évaluée en 𝑥 zéro plus ℎ moins 𝑔 évaluée en 𝑥 zéro, le tout divisé par ℎ, si cette limite existe.

Cette définition nous donne la dérivée de notre fonction en un seul point. Nous pouvons alors utiliser cela pour trouver la dérivée de la fonction en entier. Commençons par trouver la dérivée de notre fonction 𝑓 de 𝑡 en 𝑡 zéro. De notre définition de la dérivée, nous avons 𝑓 prime de 𝑡 zéro est égal à la limite lorsque ℎ tend vers zéro de 𝑓 évalué en 𝑡 zéro plus ℎ moins 𝑓 évalué en 𝑡 zéro divisé par ℎ.

Ensuite, nous pouvons utiliser la définition de la fonction 𝑓 de 𝑡 pour réécrire notre limite sous la forme suivante. Nous allons maintenant commencer à simplifier notre limite. Tout d’abord, nous allons distribuer le cube sur notre ensemble de parenthèses. Cela nous donne deux 𝑡 zéro au cube plus six 𝑡 zéro au carré ℎ plus six 𝑡 zéro ℎ au carré plus deux ℎ au cube.

Ensuite, nous allons multiplier la deuxième paire de parenthèses. Cela nous donne huit 𝑡 zéro plus huit ℎ. Enfin, nous soustrayons un et multiplions notre dernier ensemble de parenthèses par moins un. Enfin, bien sûr, nous divisons par ℎ. Cela nous donne l’expression suivante.

Nous pouvons légèrement simplifier cette expression en supprimant certains termes. Nous voyons que nous avons un plus huit 𝑡 zéro et un moins huit 𝑡 zéro qui s’annulent. Nous soustrayons également un et ajoutons un. Enfin, nous avons deux 𝑡 zéro au cube moins deux 𝑡 zéro au cube qui s’annulent. Ainsi, en annulant ces termes, notre limite devient la limite lorsque ℎ tend vers zéro de six 𝑡 zéro au carré ℎ plus six 𝑡 zéro au carré plus deux ℎ au cube plus huit ℎ divisé par ℎ.

Maintenant, nous pouvons voir que chaque terme de notre numérateur a un facteur commun ℎ. Puisque notre limite est lorsque ℎ tend vers zéro, ℎ est différent de zéro. Ainsi, nous pouvons annuler ce facteur commun de ℎ. Cela nous donne la limite lorsque ℎ tend vers zéro de six 𝑡 zéro au carré plus six 𝑡 zéro ℎ plus deux ℎ au carré plus huit. Rappelez-vous, 𝑡 zéro est juste une constante. Ainsi, nous avons obtenu un polynôme. Nous pouvons évaluer cette limite par substitution directe.

En substituant ℎ est égal à zéro, nous obtenons six 𝑡 zéro au carré plus six 𝑡 zéro fois zéro plus deux fois zéro au carré plus huit. Bien sûr, nous pouvons simplifier cela pour nous donner six 𝑡 zéro carré plus huit. Cependant, rappelez-vous, ceci n’est que la dérivée de notre fonction au point 𝑡 zéro. Nous pouvons remarquer qu’à aucun moment dans nos calculs de la dérivée, nous n’avons utilisé les propriétés de la constante 𝑡 zéro. La valeur de 𝑡 zéro aurait pu être n’importe quel nombre réel et nous aurions suivi exactement le même chemin. Nous aurions obtenu six 𝑡 zéro carré plus huit.

En d’autres termes, nous avons montré que pour toute valeur réelle de 𝑡, la dérivée 𝑓 prime de 𝑡 est égale à six 𝑡 au carré plus huit. Par conséquent, en utilisant la définition de la dérivée, nous avons montré que la fonction 𝑓 de 𝑡 est égale à deux 𝑡 au cube plus huit 𝑡 moins un a pour dérivée 𝑓 prime de 𝑡, qui est égale à six 𝑡 au carré plus huit.

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