Transcription de la vidéo
Les angles directeurs du vecteur 𝚨 sont 90 degrés, 97 degrés et 165 degrés. Lequel des plans suivants contient le vecteur 𝚨 ? Est-ce (A) le plan 𝑥𝑦, (B) le plan 𝑦𝑧 ou (C) le plan 𝑥𝑧 ?
Cette question nous donne les angles directeurs d’un vecteur 𝚨. Donc commençons par rappeler ce qu’ils représentent. Pour un vecteur 𝚨 de composantes 𝐴𝑥, 𝐴𝑦 et 𝐴𝑧 dans les directions respectives des 𝑥, 𝑦 et 𝑧, les angles directeurs de 𝚨 sont les angles 𝜃𝑥, 𝜃𝑦 et 𝜃𝑧 que 𝚨 forme avec les axes des 𝑥, des 𝑦 et des 𝑧. Rappelons également la définition des cosinus directeurs du vecteur 𝚨. Ce sont les cosinus des angles directeurs 𝜃𝑥, 𝜃𝑦 et 𝜃𝑧. E nous pouvons représenter schématiquement les composantes d’un vecteur général comme ceci.
On rappelle maintenant que dans un triangle rectangle, le cosinus d’un angle 𝜃 est égal à la longueur du côté adjacent à l’angle divisé par l’hypoténuse du triangle ; et nous pouvons donc voir que pour les cosinus directeurs, le cosinus de l’angle directeur 𝜃𝑥 est égal à la composante en 𝑥 du vecteur 𝚨 divisée par la norme de 𝚨, en supposant que celle-ci est non nulle ; et de même pour les cosinus directeurs des angles 𝜃𝑦 et 𝜃𝑧.
Nous connaissons ici les angles directeurs d’un vecteur 𝚨. Ils sont de 90 degrés, 97 degrés et 165 degrés. Et on nous demande lequel des plans donnés contient le vecteur 𝚨. Pour répondre à cela, considérons l’angle directeur 𝜃𝑥 de mesure 90 degrés. Si 𝜃𝑥 égale 90 degrés, alors le vecteur 𝚨 est orthogonal à l’axe des 𝑥. Et nous pouvons l’illustrer sur notre schéma comme ceci. Si nous considérons maintenant le cosinus directeur, cosinus de 𝜃𝑥, il est égal au cosinus de 90 degrés.
Mais on sait que le cosinus de 90 degrés est égal à zéro. Cela signifie que la composante en 𝑥 de 𝚨 sur la norme de 𝚨 est aussi égal à zéro. Et donc que la composante en 𝑥 de 𝚨 doit être égale à zéro. Et si la composante en 𝑥 de 𝚨 est nulle et 𝚨 est orthogonal à l’axe des 𝑥, alors 𝚨 doit être contenu dans le plan 𝑦𝑧.
Par conséquent, si les angles directeurs d’un vecteur 𝚨 sont de 90 degrés, 97 degrés et 165 degrés, alors le vecteur est contenu dans le plan 𝑦𝑧, ce qui est la réponse (B).
