Vidéo question :: Déterminer le sens du produit vectoriel de deux vecteurs Physique

Transcription de la vidéo

Considérons les deux vecteurs 𝐀 égale six 𝐢 plus sept 𝐣 et 𝐁 égale 12𝐢 plus quatre 𝐣. Le produit vectoriel de 𝐀 croix 𝐁 pointe-t-il dans le sens positif ou négatif de la direction 𝑧 ?

Très bien, il s’agit donc d’une question sur le produit vectoriel de deux vecteurs 𝐀 et 𝐁. On nous demande de déterminer si le produit vectoriel de 𝐀 croix 𝐁 pointe dans le sens positif ou négatif de la direction 𝑧. Si nous regardons ces deux vecteurs qui nous sont donnés, nous voyons qu’ils ont tous les deux une composante 𝐢 et une composante 𝐣. Rappelons que 𝐢 est le vecteur unitaire dans la direction 𝑥 et 𝐣 est le vecteur unitaire dans la direction 𝑦. Cela signifie que nos vecteurs 𝐀 et 𝐁 se trouvent dans le plan 𝑥𝑦. Nous pouvons dessiner ces vecteurs comme suit. Le vecteur 𝐀 s’étend de six unités dans la direction 𝑥 et de sept unités dans la direction 𝑦, ce qui donne un vecteur comme celui-ci. Le vecteur 𝐁 s’étend de 12 unités dans la direction 𝑥 et de quatre dans la direction 𝑦, il ressemble donc à ceci.

Pour répondre à la question, nous devons évaluer le produit vectoriel de 𝐀 croix 𝐁. Rappelons donc notre définition du produit vectoriel. Considérons deux vecteurs généraux qui se trouvent dans le plan 𝑥𝑦. Pour les distinguer des vecteurs qui nous sont donnés dans la question, nous appellerons ces vecteurs 𝐚 minuscule et 𝐛 minuscule. Nous pouvons écrire les vecteurs en fonction de leurs composantes comme 𝐚 est égal à 𝑎 indice 𝑥 multiplié par 𝐢 plus 𝑎 indice 𝑦 multiplié par 𝐣, et de même pour 𝐛. Ensuite, le produit vectoriel de 𝐚 croix 𝐛 est défini comme 𝑎 indice 𝑥 multiplié par 𝑏 indice 𝑦 moins 𝑎 indice 𝑦 multiplié par 𝑏 indice 𝑥 le tout multiplié par 𝐤, qui est un vecteur unitaire dans le sens positif de la direction 𝑧. Ainsi, le produit vectoriel de 𝐚 croix 𝐛 produit un vecteur de cette amplitude et de direction perpendiculaire à la direction de 𝐚 et de 𝐛.

La question demande si notre produit vectoriel particulier suit le sens positif ou négatif de la direction 𝑧. En regardant notre expression générale pour le produit vectoriel, nous voyons que cela équivaut à demander si cette partie-là est positive ou négative. Si ce terme est positif, nous avons un nombre positif multiplié par un vecteur unitaire 𝐤 dans le sens positif de la direction 𝑧. Alors, le vecteur résultant du calcul du produit vectoriel pointe selon le sens positif de la direction 𝑧. En même temps, si ce terme est négatif, alors nous avons un nombre négatif multiplié par le vecteur unitaire dans le sens positif de la direction 𝑧. Cela nous donne un vecteur qui pointe selon le sens négatif de la direction 𝑧. Donc, calculons le produit vectoriel des deux vecteurs 𝐀 majuscule et 𝐁 majuscule qui nous sont donnés dans la question.

Le premier terme est la composante 𝑥 de 𝐀, qui vaut six, multipliée par la composante 𝑦 de 𝐁, qui vaut quatre. Ensuite, nous soustrayons un deuxième terme. Ce deuxième terme est la composante 𝑦 de 𝐀, qui vaut sept, multipliée par la composante 𝑥 de 𝐁, qui vaut 12. Ensuite, toute cette expression est multipliée par 𝐤, le vecteur unitaire dans le sens positif de la direction 𝑧. Si nous faisons les multiplications, nous obtenons que le premier terme entre parenthèses vaut 24 et le deuxième terme vaut 84. La soustraction de 84 à 24 nous donne moins 60. Nous avons donc un nombre négatif multiplié par le vecteur unitaire dans la direction positive de 𝑧. Et, comme nous l’avons déjà dit, ce nombre négatif signifie que le vecteur résultant pointe dans le sens négatif de la direction 𝑧.

Et donc nous avons notre réponse à la question que lorsque nous calculons le produit vectoriel de 𝐀 croix 𝐁, notre vecteur résultant pointe dans le sens négatif de la direction 𝑧.