Vidéo : Simplifier et déterminer l’ensemble de définition des fonctions rationnelles

Simplifie fonction 𝑛(𝑥) = (𝑥 + 1)/(𝑥² + 3𝑥 + 2) et détermine son ensemble de définition.

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Transcription de vidéo

Simplifie la fonction 𝑛 de 𝑥 est égal à 𝑥 plus un divisé par 𝑥 au carré plus trois 𝑥 plus deux et déterminer son ensemble de définition.

Afin de simplifier cette fonction, nous devons factoriser le dénominateur de la fraction. Comme il n’existe pas de facteur commun autre que celui du dénominateur, nous allons factoriser l’expression du second degré en deux parenthèses ou crochets. 𝑥 multiplié par 𝑥 est 𝑥 au carré. Par conséquent, le premier terme entre parenthèses sera 𝑥.

Nous devons maintenant trouver une paire de nombres qui se multiplient pour donner deux et qui s’ajoutent pour donner trois. Dans ce cas, la seule option est un et deux, puisqu’un multiplié par deux est égal à deux et un ajouté à deux est égal à trois. Cela signifie que nos deux parenthèses sont 𝑥 plus un et 𝑥 plus deux.

À ce stade, nous pouvons voir que nous avons 𝑥 plus un au numérateur et au dénominateur. Cela signifie que nous pouvons diviser par 𝑥 plus un. Diviser le numérateur par 𝑥 plus un nous donne un. Et en divisant le dénominateur par 𝑥 plus un, on obtient 𝑥 plus deux. Par conséquent, la version simplifiée de la fonction 𝑛 de 𝑥 égale un divisé par 𝑥 plus deux.

Bien qu’il apparaisse initialement que toutes les valeurs réelles peuvent appartenir à l’ensemble de définition, à y regarder de plus près, certaines valeurs de 𝑥 rendraient le dénominateur égal à zéro. Cela donnerait des valeurs indéfinies. Fixer le dénominateur à zéro nous donne deux équations, 𝑥 plus un égal à zéro et 𝑥 plus deux égal à zéro.

La résolution de ces équations nous donne 𝑥 est égal à moins un ou 𝑥 est égal à moins deux. Substituer l’une ou l’autre de ces deux valeurs dans la fonction 𝑛 de 𝑥 donnerait une sortie non définie. Cela signifie que 𝑥 est égal à moins un et 𝑥 est égal à moins deux ne peut pas appartenir à l’ensemble de définition. Par conséquent, l’ensemble de définition de 𝑛 de 𝑥 est constitué de toutes les valeurs réelles, à l’exception des valeurs moins un et moins deux.

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