Vidéo : Sommes de Riemann

Dans cette vidéo, nous apprendrons à approximer l’aire sous la courbe d’une fonction en utilisant les sommes de Riemann droite, gauche et médiane.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment les intégrales définies peuvent être estimées en utilisant des rectangles. Et c’est un processus appelé le calcul des sommes de Riemann. Nous découvrirons comment diviser l’aire entre la courbe et l’axe des 𝑥 en rectangles de différents points. Et considérez la précision de ces approximations en examinant un certain nombre d’exemples de divers degrés de difficulté.

Supposons que nous cherchions à trouver l’aire entre la courbe de 𝑦 est égal à 𝑥 au carré, l’axe des 𝑥 et les droites verticales 𝑥 est égal à un et 𝑥 est égal à trois. Nous savons que nous pouvons trouver l’aire exacte en utilisant une intégration définie. Nous évaluons l’intégrale de 𝑥 au carré entre les bornes un et trois par rapport à 𝑥. L’intégrale de 𝑥 au carré est 𝑥 au cube sur trois. En évaluant cela entre les bornes un et trois, nous avons obtenu trois au cube sur trois moins un cube sur trois, soit 26 sur trois ou environ 8.67 unités carrées. Le problème est que l’intégration d’une fonction n’est pas toujours aussi simple. Et nous pourrions avoir juste besoin d’approximer l’aire entre la courbe et l’axe des 𝑥.

Pour ce faire, nous avons plusieurs options. Et dans cette vidéo, nous allons utiliser ce qu’on appelle les sommes de Riemann. Dans ce cas, nous allons diviser l’aire sous la courbe en rectangles, puis trouver l’aire de chacun. Il y a trois façons de procéder. Nous pourrions trouver la hauteur des rectangles en utilisant la valeur de la fonction à l’extrémité gauche de chaque rectangle, à l’extrémité droite de chaque rectangle ou au milieu de chaque rectangle. Et à l’occasion, nous pourrions même choisir d’utiliser des sous-intervalles de taille inégale, bien que ce soit assez rare. Revenons à cet exemple.

Nous allons imaginer que nous voulons diviser l’aire en quatre sous-intervalles, quatre rectangles de taille égale. Pour trouver la largeur de chaque rectangle, nous trouvons la différence entre les bornes notre aire. Et nous partageons cela en 𝑛 morceaux, où 𝑛 est le nombre de sous-intervalles. Ici, c’est trois moins un divisé par quatre, ce qui est bien sûr un demi. Chaque sous-intervalle a donc une largeur de 0.5 unité. Formellement, nous disons que la largeur de chaque rectangle, 𝛥𝑥, est égale à 𝑏 moins 𝑎 sur 𝑛. Où 𝑏 et 𝑎 sont les extrémités de l’intervalle et 𝑛 est le nombre de sous-intervalles. Estimons l’aire en utilisant le point d’extrémité droit de chaque sous-intervalle. En d’autres termes, nous allons trouver la hauteur de chaque rectangle en considérant la valeur de la fonction à l’extrémité droite de chacun de nos sous-intervalles.

À partir du début de notre intervalle, nous ajoutons 0.5 à un. Et nous voyons que la hauteur de ce rectangle est égale à la valeur de la fonction à 𝑥 est égal à 1.5. C’est 𝑓 de 1.5, ce qui est bien sûr 1.5 au carré, ce qui est égal à 2.25. Puisque l’aire d’un rectangle se trouve en multipliant la longueur de sa base par sa hauteur, on retrouve l’aire de celui-ci en multipliant 0.5 par 2.25. Ce qui nous donne 1.125 unités carrées. Ensuite, nous ajoutons 0.5 à 1.5 pour nous en donner deux. La hauteur de ce rectangle est la valeur de la fonction à 𝑥 égale deux. C’est le 𝑓 de deux qui est deux au carré, ce qui est, bien sûr, égal à quatre. Cette fois, l’aire du rectangle est quatre fois 0.5, ce qui correspond à deux unités carrées. Nous ajoutons ensuite 0.5 à deux pour nous donner 2.5. Et quand on voit que la hauteur de ce rectangle serait la valeur de 𝑓 à 2.5. 𝑓 de 2.5 est 2.5 au carré, ce qui est 6.25. Et donc, l’aire de notre troisième rectangle est de 6.25 fois 0.5, ce qui représente 3.125 unités carrées.

Enfin, si nous ajoutons un autre 0.5, nous arrivons à trois. Voilà la fin de notre intervalle. Et c’est le quatrième rectangle comme requis. Cette fois, sa hauteur est 𝑓 de trois. Cela fait trois au carré, ce qui fait neuf. Et par conséquent, l’aire de notre rectangle final est de neuf fois 0.5, ce qui correspond à 4.5 unités carrées. Pour trouver une estimation de l’aire totale sous la courbe et donc une estimation de l’intégrale définie entre un et trois de 𝑥 au carré, nous les additionnons ensemble. On estime alors à cette intégrale 1.125 plus deux plus 3.125 plus 4.5, soit 10.75 unités carrées.

Rappelez-vous, la réponse que nous avons obtenue lorsque nous avons évalué l’intégrale elle-même était 8.67. Et si nous regardons attentivement, nous pouvons voir que nos rectangles sont tous un peu plus grands que l’aire requise. Nous nous attendions donc à une surestimation. Nous pourrions, bien sûr, rendre notre approximation plus précise en divisant les rectangles en sous-intervalles plus petits. Et, en fait, lorsque le nombre de sous-intervalles 𝑛 approche de l’infini, la somme de Riemann se rapproche de l’intégrale définie de la fonction entre les points d’extrémité. Il est important de se rappeler, cependant, que si la fonction prend à la fois des valeurs positives et négatives, comme indiqué ici. Alors la somme de Riemann est la somme des aires des rectangles qui se trouvent au-dessus de l’axe des 𝑥 et des opposés des aires des rectangles qui se trouvent en dessous de l’axe des 𝑥. Dans ce cas, ce serait l’aire des rectangles roses moins l’aire des rectangles jaunes. Nous allons maintenant examiner un exemple plus formel de ce processus, cette fois en utilisant les points d’extrémité gauche.

Étant donné que 𝑓 de 𝑥 est égal à quatre cos 𝑥 et que 𝑥 est supérieur ou égal à zéro et inférieur ou égal à 𝜋 par quatre, évaluez, aux six décimales les plus proches, la somme de Riemann pour 𝑓 avec six sous-intervalles, en prenant les points d’échantillonnage devant rester des extrémités.

Rappelez-vous, nous pouvons approximer l’intégrale définie d’une fonction entre les bornes, disons, 𝑎 et 𝑏 en divisant l’aire entre la courbe et l’axe des 𝑥 en 𝑛 sous-intervalles. Lorsque la largeur de chaque rectangle, 𝛥𝑥, est égale à la différence entre les limites supérieure et inférieure divisée par 𝑛, le nombre de sous-intervalles. Dans cette question, nous cherchons à diviser l’aire en six sous-intervalles, donc nous laissons 𝑛 égal à six. On laisse 𝑎 égal à zéro et 𝑏 égal à 𝜋 sur quatre. Donc 𝛥𝑥 ici et la largeur de chacun de nos rectangles est 𝜋 de quatre moins zéro sur six, ce qui est 𝜋 sur 24. Esquissons maintenant la courbe de 𝑦 est égal à quatre cos 𝑥 entre 𝑥 est égal à zéro et 𝜋 sur quatre radians et l’a renversé dans ces six sous-intervalles.

Cette question nous oblige à utiliser les points d’extrémité gauche. Ainsi, la hauteur de chacun de nos rectangles sera égale à la valeur de la fonction à gauche de chaque sous-intervalle. L’esquisse est vraiment utile ici car nous voyons que chaque rectangle se trouve au-dessus de l’axe des 𝑥. Il nous suffit donc de trouver l’aire positive de chacun. Considérons notre premier rectangle. Son extrémité gauche est à 𝑥 est égal à zéro. On retrouve donc la hauteur du rectangle en évaluant 𝑓 de zéro. 𝑓 de zéro est quatre fois cos de zéro, ce qui est quatre. L’aire de ce premier rectangle est donc 𝜋 sur 24, puisque c’est la largeur de chaque rectangle, multipliée par quatre. C’est 𝜋 sur six unités carrées.

Nous devons maintenant trouver le prochain point de terminaison. Nous y parvenons en ajoutant 𝜋 de 24 à zéro ; c’est 𝜋 sur 24. Et nous pouvons donc trouver la hauteur de ce rectangle en évaluant 𝑓 de 𝜋 sur 24. C’est quatre cos de 𝜋 sur 24, ce qui représente environ 3.965779 et ainsi de suite. L’aire de notre deuxième rectangle est alors largeur fois hauteur ou base fois hauteur. C’est 𝜋 sur 24 fois 3.965 et ainsi de suite, ce qui est à peu près 0.51911931 et ainsi de suite. Maintenant, bien sûr, cette question nous demande d’évaluer jusqu’à six décimales, c’est pourquoi j’ai laissé les chiffres comme je l’ai fait. Nous trouvons le point final suivant en ajoutant un autre 𝜋 sur 24 à 𝜋 sur 24 et nous obtenons 𝜋 sur 12. La hauteur de ce troisième rectangle est alors 𝑓 de 𝜋 sur 12 qui est quatre cos de 𝜋 sur 12, ce qui nous donne la racine six plus racine deux. Et puis nous voyons que l’aire de notre troisième rectangle est 𝜋 sur 24 multipliée par cette valeur, ce qui nous donne une aire d’environ 0.505 et ainsi de suite unités carrées.

Nous répétons ce processus en ajoutant à plusieurs reprises 𝜋 sur 24 à chacun de nos points de terminaison. Et lorsque nous le faisons, nous constatons que l’extrémité gauche de chacun de nos rectangles est 𝜋 sur huit, 𝜋 sur six et 𝑥 est égal à cinq 𝜋 sur 24. Leurs hauteurs sont respectivement données par 𝑓 de 𝜋 sur huit, 𝑓 de 𝜋 sur six, et 𝑓 de cinq 𝜋 sur 24. Et lorsque nous multiplions chacune de ces valeurs par la largeur, 𝜋 sur 24, nous constatons que l’aire de notre quatrième rectangle est d’environ 0.4837. Notre cinquième rectangle mesure environ 0.4534. Et notre sixième est d’environ 0.4153. N’oubliez pas que la somme de Riemann est l’aire totale de ces six rectangles. C’est 2.901 et ainsi de suite. C’est 2.901067 correct à six décimales.

Dans notre exemple suivant, nous allons voir comment trouver la somme de Riemann à l’aide de points médians.

Étant donné que 𝑓 de 𝑥 est égal à 𝑥 au carré moins quatre et que 𝑥 est supérieur ou égal à moins quatre et inférieur ou égal à deux, évaluez la somme de Riemann pour 𝑓 avec six sous-intervalles, en prenant les points d’échantillonnage comme des points médians.

Rappelez-vous, nous pouvons approximer l’intégrale définie d’une fonction entre les limites 𝑎 et 𝑏 en divisant l’aire entre la courbe et l’axe des 𝑥 en 𝑛 sous-intervalles. La largeur de chaque rectangle est donnée par 𝛥𝑥, que l’on trouve en soustrayant 𝑎 de 𝑏 et en divisant cette valeur par 𝑛. Dans cet exemple, nous voulons diviser l’aire en six sous-intervalles. Donc, nous laissons 𝑛 égal à six, puis 𝑎 est moins quatre et 𝑏 deux. La largeur de chacun de nos sous-intervalles est alors donnée par deux moins moins quatre sur six, ce qui est égal à un. Ensuite, nous allons esquisser la courbe de 𝑦 égal à 𝑥 au carré moins quatre entre les points d’extrémité moins quatre et deux. Et nous allons diviser cela en six sous-intervalles.

Cette question nous oblige à utiliser des points médians. Ainsi, la hauteur de chaque rectangle sera égale à la valeur de la fonction au milieu de chaque sous-intervalle. Cela va ressembler à quelque chose comme ça. Maintenant, nous pouvons calculer la valeur 𝑥 à la fin de chaque rectangle en ajoutant plusieurs fois un à quatre. Et cela nous donne chacune de ces valeurs. Nous pouvons alors voir que les points médians vont être moins 3.5, 𝑥 égal moins 2.5, moins 1.5, etc.

Maintenant, nous allons devoir faire très attention ici. Nous voyons que certains de nos rectangles se trouvent en dessous de l’axe des 𝑥. Cela signifie que nous allons trouver la valeur négative de leur aire. En d’autres termes, nous soustrairons l’aire totale des rectangles situés en dessous de l’axe des 𝑥 de l’aire totale des rectangles situés au-dessus de l’axe des 𝑥. Commençons par trouver les valeurs des fonctions à chaque point médian. Et cela nous indiquera la hauteur de chaque rectangle. C’est 𝑓 de moins 3.5, 𝑓 de moins 2.5, 𝑓 de moins 1.5, et ainsi de suite. Et, bien sûr, notre fonction est 𝑥 au carré moins quatre. Et lorsque nous substituons chacune de ces valeurs dans cette fonction, nous obtenons 8.25, 2.25, moins 1.75, moins 3.75, un autre moins 3.75 et un autre moins 1.75. Nous obtenons alors l’aire de notre premier rectangle ici à 8.25 fois un.

Notre deuxième rectangle a une superficie de 2.25 fois un. Notre troisième rectangle a une superficie de 1.75 fois un, mais pas moins 1.75. Parce que nous ne traitons que de domaines pour le moment. Notre quatrième rectangle a une superficie de 3.75 fois un. La hauteur des temps de base avec notre cinquième rectangle est à nouveau 3.75 fois supérieure. Et pour notre dernier rectangle, c’est 1.75 fois un. La somme de Riemann est donc de 8.25 plus 2.25 moins la somme de 1.75, 3.75, 3.75 et encore 1.75. Et cela nous donne une approximation de l’intégrale définie entre les valeurs de moins quatre et deux de 𝑥 au carré moins quatre. C’est moins 0.5. Et, bien sûr, 𝑥 au carré moins quatre est une fonction assez simple à intégrer. Nous pouvons donc vérifier notre réponse en évaluant cette intégrale.

Lorsque nous le faisons, nous obtenons 𝑥 au cube sur trois moins quatre 𝑥 entre les bornes quatre et moins deux, ce qui nous donne une valeur de zéro. Et notre estimation de 0.5 négatif est assez proche. Nous pouvons donc supposer que nous avons probablement fait cela correctement. Il convient de noter qu’un croquis de la courbe ne sera pas toujours possible. Donc, à la place, nous devons noter que lorsque la valeur de 𝑓 de 𝑥 est inférieure à zéro, nous soustrayons l’aire du rectangle de cette hauteur.

Maintenant que nous avons considéré trois types de sommes de Riemann, regardons comment décider si nous trouvons une estimation inférieure ou supérieure pour notre intégrale.

Un tableau de valeurs pour une fonction croissante 𝑓 est affiché. Utilisez les sommes de Riemann pour trouver des estimations inférieures et supérieures pour l’intégrale définie entre les bornes zéro et 20 de 𝑓 de 𝑥 par rapport à 𝑥.

Il est important de savoir que nous avons reçu une table de valeurs pour une fonction croissante. Cela signifie que sur l’intervalle fermé de zéro à 20, le graphique de la fonction sera toujours en pente. Cela pourrait ressembler à quelque chose comme ça. Maintenant, nous savons que nous pouvons trouver des estimations pour l’intégrale donnée en utilisant des sommes de Riemann. Notre travail consiste donc à déterminer quelle somme de Riemann est susceptible de donner l’estimation la plus basse et laquelle est susceptible de donner l’estimation la plus élevée. Si nous devions trouver la somme de Riemann en utilisant les points d’extrémité gauche, nous voyons que nous nous retrouvons avec quelque chose un peu comme ça. Presque chaque rectangle est un peu plus petit que l’aire réelle. Lorsque nous utilisons les bons points de terminaison, nous nous retrouvons avec bien plus que l’aire réelle. Il s’ensuit également que l’utilisation du point médian nous donnerait quelque chose au milieu, tout comme l’utilisation de la méthode des trapèzes.

Cela signifie que l’utilisation du point d’extrémité gauche va nous donner une estimation inférieure et que l’utilisation du point d’extrémité droit nous donnera une estimation supérieure. Trouvons ces deux approximations. Nous voyons que la largeur de nos sous-intervalles est de quatre. On pourrait donc dire que la largeur de chaque rectangle sera de quatre unités. Et l’aire de notre premier rectangle va être multipliée par quatre par la valeur positive de la fonction au point d’extrémité gauche ; ça fait trois. Le deuxième rectangle aura une superficie de quatre fois quatre. Le troisième aura une superficie de quatre fois neuf. Ensuite, nous avons un rectangle avec une aire de quatre fois 18 et une aire de quatre fois 30.

En se rappelant que le premier rectangle se trouve en dessous de l’axe des 𝑥, nous soustrayons cela de la somme des quatre autres. Et nous obtenons une superficie totale de 232 unités carrées. Nous répétons maintenant cela en utilisant le bon point de terminaison. Et nous voyons que l’aire de notre premier rectangle est quatre fois quatre. Le second est quatre fois neuf. Ensuite, nous avons une aire de quatre fois 18, quatre fois 30 et quatre fois 35. Cette fois, chacun de ces rectangles se trouve au-dessus de l’axe des 𝑥. Nous additionnons donc toutes ces valeurs pour obtenir un total de 384 unités carrées. Les estimations inférieures et supérieures de l’intégrale définie de 𝑓 de 𝑥 évaluées entre zéro et 20 sont donc respectivement 232 et 384. En fait, nous pouvons généraliser le résultat ici. Nous pouvons dire cela lorsque vous travaillez avec des fonctions croissantes. La somme de Riemann gauche sera une sous-estimation de l’aire entre la courbe et l’axe des 𝑥. Alors que la bonne somme de Riemann donnera une surestimation. L’inverse, bien sûr, doit être vrai alors pour les fonctions décroissantes.

Supposons 𝑇, 𝐿 et 𝑅 sont des approximations de l’intégrale définie entre une et trois de 𝑥 au cube plus un en utilisant la règle trapézoïdale, gauche somme de Riemann, et à droite somme de Riemann, respectivement, en utilisant 10 sous-intervalles. Lequel des énoncés suivants est la relation correcte entre les trois approximations ? Est-ce que 𝑅 est inférieur à 𝑇 qui est inférieur à 𝐿, 𝐿 est inférieur à 𝑇 qui est inférieur à 𝑅, 𝑅 est inférieur à 𝐿 qui est inférieur à 𝑇, ou 𝑇 est inférieur à 𝐿, qui est inférieur à 𝑅 ?

Considérons la fonction 𝑓 de 𝑥 égale 𝑥 au cube plus un. Nous savons en considérant la forme de la courbe que c’est une fonction croissante. Bien que nous puissions vérifier cela en dérivant pour obtenir trois 𝑥 au carré, ce qui est supérieur à zéro pour des valeurs de 𝑥 non égales à zéro, confirmant nos soupçons. Cela aide vraiment car nous savons que pour une fonction croissante, la somme de Riemann gauche donne une sous-estimation de l’aire réelle. Appelons cela 𝐴. Et la bonne somme de Riemann donne une surestimation de l’aire réelle. On peut donc dire que l’on sait que 𝐴 doit être supérieur à 𝐿 qui doit être inférieur à 𝑅. Et cela, à son tour, signifie que 𝑅, bien sûr, doit être supérieur à 𝐿.

Mais d’où viennent les estimations de la méthode des trapèzes ? Eh bien, cela n’utilise rien de plus que la moyenne des sommes de Riemann gauche et droite. Il s’ensuit donc que cette approximation doit se situer entre les deux. Et nous obtenons que 𝑇 doit être supérieur à 𝐿 mais inférieur à 𝑅. La seconde est la relation correcte entre les trois approximations.

Dans cette vidéo, nous avons appris que nous pouvons approximer des intégrales définies en divisant l’aire entre la courbe et l’axe des 𝑥 en un certain nombre de rectangles. Chaque rectangle a une hauteur de la valeur de la fonction aux points d’extrémité droit, gauche ou médian du sous-intervalle. Nous avons également vu que pour des fonctions croissantes, la somme de Riemann gauche donnera une valeur inférieure à la somme de Riemann droite. Et pour les fonctions décroissantes, l’inverse est vrai.

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