Transcription de la vidéo
Soient 𝐴 et 𝐵 deux événements dans un univers. Sachant que la probabilité de 𝐴 est égale à 0,45, que la probabilité de 𝐵 est égale à 0,6 et que la probabilité de 𝐴 union 𝐵 est égale à 0,78, les événements 𝐴 et 𝐵 sont-ils indépendants ?
Eh bien, la première chose à faire est de rappeler ce que sont des évènements indépendants. Des événements indépendants sont des événements où l’issue d’un événement n’affecte pas l’issue de l’autre. On peut aussi dire que la probabilité de 𝐴 inter 𝐵, donc 𝐴 et 𝐵, est égale à la probabilité de 𝐴 fois la probabilité de 𝐵. Et cela n’est vrai que s’ils sont indépendants.
Si nous étudions maintenant les informations que nous avons, nous avons la probabilité de 𝐴. Nous avons la probabilité de 𝐵. Mais nous n’avons pas la probabilité de 𝐴 inter 𝐵. Nous avons uniquement la probabilité de 𝐴 union 𝐵. Donc, qu’allons-nous faire ?
Eh bien, ce que nous allons utiliser est une des formules de probabilité qui va nous aider à calculer la probabilité de leur intersection. Et cette formule est que la probabilité de 𝐴 union 𝐵 est égale à la probabilité de 𝐴 plus la probabilité de 𝐵 moins la probabilité de 𝐴 inter 𝐵. Et nous pouvons voir pourquoi c’est le cas en utilisant un diagramme de Venn représentant les événements 𝐴 et 𝐵.
Si on pense à la probabilité de 𝐴 union 𝐵 comme la probabilité de 𝐴 ou 𝐵, alors nous pouvons considérer qu’il s’agit de tout ce qui est haché ici. Et pour la calculer, elle serait égale à la probabilité de 𝐴 plus la probabilité de 𝐵. Mais la zone de chevauchement au milieu serait comptée deux fois. On doit donc la soustraire, et on voit alors que cette zone représente en fait la probabilité de 𝐴 inter 𝐵.
Très bien, nous avons maintenant rappelé d’où vient cette formule. Continuons donc et calculons la probabilité de 𝐴 inter 𝐵. En substituant les valeurs données, on a 0,78 égale 0,45 plus 0,6 moins la probabilité de 𝐴 inter 𝐵, soit 0,78 égale 1,05 moins la probabilité de 𝐴 inter 𝐵. Donc, la probabilité de 𝐴 inter 𝐵 est égale à 1,05 moins 0,78, ce qui donne 0,27.
Très bien, ce que nous devons à présent faire est de déterminer si les événements sont bien indépendants. Pour cela, nous devons vérifier si on obtient la même valeur que la probabilité de 𝐴 inter 𝐵 lorsque l’on multiplie la probabilité de 𝐴 et la probabilité de 𝐵. On voit alors que le produit de ces deux probabilités est égal à 0,45 fois 0,6, ce qui est bien égal à 0,27. Nous pouvons donc dire que cette condition est vérifiée. Par conséquent, nous pouvons conclure que oui, les événements 𝐴 et 𝐵 sont indépendants.
