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Vidéo : Trouver l’équation du cercle qui passe par trois points

Anne-Claire Dupuis

L’ensemble des points d’un cercle donné est décrit par l’équation du cercle. Dans cette vidéo, apprends à établir cette équation lorsque trois points par lesquels passe le cercle sont connus ou peuvent être facilement déterminés.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à trouver l’équation d’un cercle en connaissant trois points par lequel le cercle passe.

Avant de commencer, un petit rappel sur la forme canonique de l’équation de cercle, 𝑥 moins ℎ au carré plus 𝑦 moins 𝑘 au carré égale 𝑟 au carré est donc l’équation d’un cercle de centre ℎ, 𝑘, donc ℎ et 𝑘 sont les coordonnées du centre, et le rayon est 𝑟. Et la forme générale de l’équation de cercle est 𝑥 au carré plus 𝑦 au carré plus 𝑎𝑥 plus 𝑦 [𝑏𝑦] plus 𝑐 égale zéro.

Nous avons ici deux différentes formes pour écrire l’équation du cercle, la même équation du cercle.

L’équation du cercle n’est rien d’autre que, une relation mathématique entre l’abscisse et l’ordonnée de n’importe quel point du cercle. Cela veut dire que pour n’importe quel point de cercle, si je prends son abscisse 𝑥 et son ordonnée 𝑦, et que donc ces valeurs je les mets dans cette équation de cercle, l’équation sera vraie ; elle sera vérifiée.

Ici, nous nous intéressons au cas où nous connaissons trois points par lequel passe le cercle, et nous voulons trouver son équation. Alors il y a beaucoup de méthodes pour y arriver, et ici je vous en propose deux : la première va être utilisée si on veut avoir l’équation dans sa forme canonique, et la deuxième quand on veut avoir l’équation dans sa forme générale. Bien sûr, il est de toute façon possible de passer de la forme canonique à la forme générale et vice-versa, mais c’est juste une histoire de-de temps, de gagner du temps, de choisir la bonne méthode pour avoir directement la- l’équation de cercle dans la forme souhaitée.

Donc voyons d’abord ces deux méthodes à l’aide de deux exemples.

Trouver l’équation du cercle dans sa forme canonique, qui passe par les points 𝐴 de coordonnées huit, sept, 𝐵 un, huit et 𝐶 zéro, un.

Nous cherchons ici l’équation du cercle dans sa forme canonique, c’est-à-dire 𝑥 moins ℎ au carré plus 𝑦 moins 𝑘 au carré égale 𝑟 au carré. La seule chose que nous connaissons ce sont les coordonnées de trois points par lequel passe le cercle. Donc nous savons que chaque paire de coordonnées, donc de chaque paire de abscisse, ordonnée, va vérifier notre équation.

Nous pouvons donc écrire trois équations, où pour chacune d’entre elles j’ai tout simplement pris mon équation générale ici dans sa forme canonique, et j’ai remplacé les 𝑥 et les 𝑦 par l’abscisse et l’ordonnée de chaque point.

Donc pour le point 𝐴, puisque son abscisse est huit et son ordonnée est sept, j’obtiens cette équation. Pour le point 𝐵 maintenant, 𝑥 égale un, 𝑦 égale huit. Et enfin le point 𝐶, 𝑥 égale zéro, 𝑦 égale un. J’ai donc ici un système de trois équations à trois inconnues. Toutefois, on remarque qu’elles se ressemblent toutes puisque la partie à droite du signe égal est la même dans toutes les trois ; à savoir 𝑟 au carré. Ce qui implique que les trois expressions ici, à gauche du signe égal, sont toutes égales à 𝑟 au carré ; donc elles sont toutes égales entre elles.

Donc si j’appelle la première par exemple 𝐸 un, la deuxième 𝐸 deux et la troisième 𝐸 trois, je peux écrire par exemple 𝐸 un égale 𝐸 deux et 𝐸 un égale 𝐸 trois, ce qui me donne ceci. Ce qui veut dire que j’ai réduit mon système de trois équations à trois inconnues à un système de deux équations à deux inconnues. Bien sûr j’aurais pu prendre d’autres combinaisons de-de mes trois expressions, du moment que chacune apparaît au moins une fois dans le système d’équations.

Voilà donc les deux équations que je dois résoudre ensemble pour trouver mes valeurs de ℎ et 𝑘. Donc allons-y, développons ce qu’il y a dans chaque expression de part et d’autre du signe égal. Donc huit moins ℎ au carré va me donner 64 moins 16 ℎ plus ℎ au carré plus sept moins 𝑘 au carré va me donner 49 moins 14 𝑘 plus 𝑘 au carré. Un moins ℎ au carré me donne un moins deux ℎ plus ℎ au carré plus huit moins 𝑘 au carré, 64 moins 16 𝑘 plus 𝑘 au carré. Et ici, nous voyons que c’est assez commode puisque j’ai un ℎ au carré de chaque côté donc qui s’annule, et de même pour 𝑘 au carré. Je remarque aussi que j’ai 64 des deux côtés, qui s’annule de même.

Si je veux maintenant avoir les ℎ et les 𝑘 tous à gauche, je vois qu’il faut que j’ajoute deux ℎ, et que j’ajoute de même 16 𝑘.

Moins 16 ℎ plus 2 ℎ va me donner moins 14 ℎ, et moins 14 𝑘 plus 16 𝑘 me donne plus deux 𝑘. Et si maintenant je soustrais un de chaque côté, cela me donne donc plus 48 égale zéro.

Je fais de même pour la deuxième équation. Donc la première partie nous l’avons déjà faite, je peux simplement recopier : zéro moins ℎ au carré me donne ℎ au carré plus un moins 𝑘 au carré, c’est-à-dire un moins deux 𝑘 plus 𝑘 au carré. De même, les ℎ carrés s’éliminent et les 𝑘 au carré également. Si je veux éliminer ce qu’il y a à droit je dois faire moins un plus deux 𝑘, donc je le fais également de l’autre côté, ce qui me donne moins 16 ℎ. Au niveau des 𝑘 j’ai moins 14 𝑘 plus deux 𝑘, donc moins 12 𝑘, et au niveau des nombres j’ai 64 plus 49 moins un, soit plus 112, égale zéro.

Le système d’équations à résoudre est donc celui-ci, et nous voyons ici que nous avons que des nombres pairs. Donc on peut tout diviser par deux ; histoire d’avoir des nombres un petit peu plus petits. Si je multiplie la première équation par six, je vais pouvoir ensuite additionner les deux équations et ça va m’éliminer le- l’inconnu 𝑘.

J’additionne maintenant la première et la deuxième équation ensemble, donc ça me donne moins 42 ℎ moins huit ℎ, soit moins 50 ℎ, plus six 𝑘 moins six 𝑘 égale zéro, et 146 plus 56 me fait plus 200, égale zéro. Et on trouve ℎ égale quatre.

Je peux maintenant choisir d’injecter la valeur qu’on a trouvée de ℎ par exemple ici, donc dans cette équation-là, ce qui donne moins sept fois quatre, c’est-à-dire moins 28, plus 𝑘 plus 24 égale zéro, et on trouve que de même 𝑘 égale quatre.

Maintenant que nous avons trouvé les valeurs de ℎ et 𝑘, on peut revenir à une de nos premières équations, donc l’équation de cercle dans sa forme canonique. Par exemple la première qu’on avait obtenue avec les coordonnées du point 𝐴, et nous remplaçons maintenant ℎ et 𝑘 par la valeur que l’on a trouvée, à savoir quatre pour chacun.

Donc huit moins quatre égale quatre, au carré cela fait 16. Sept moins quatre égale trois, au carré cela fait neuf. Et ceci est égal à 𝑟 au carré, donc 𝑟 au carré égale 25. Nous avons maintenant les valeurs de ℎ, 𝑘 et 𝑟 au carré ; l’équation du cercle est donc 𝑥 moins quatre au carré plus 𝑦 moins quatre au carré égale 25.

Voyons maintenant à l’aide d’un deuxième exemple comment obtenir une équation de cercle dans sa forme générale quand on a trois points par lesquels passe le cercle.

Ici, déterminer l’équation du cercle dans sa forme générale qui passe par l’origine et les points 𝐴 de coordonnées huit, zéro, et 𝐵 zéro, moins 10.

Nous cherchons ici une équation du cercle dans sa forme générale, c’est-à-dire 𝑥 au carré plus 𝑦 au carré plus 𝑎𝑥 plus 𝑏𝑦 plus 𝑐 égale zéro.

Nous savons que l’équation du cercle décrit la relation entre l’abscisse et l’ordonnée de n’importe quel point du cercle. Donc les trois points que nous avons ici ont des coordonnées, c’est-à-dire un abscisse et une ordonnée qui vont vérifier cette équation.

Je peux ainsi écrire que pour le point 𝐴, son abscisse 𝑥 est huit, donc huit au carré, plus son ordonnée étant zéro, je vais avoir zéro au carré, plus 𝑎 fois huit plus 𝑏 fois zéro plus 𝑐 égale zéro. Je fais de même avec le point 𝐵, et avec l’origine. J’ai ainsi un système de trois équations avec trois inconnues.

Faisons donc les calculs pour les représenter de forme un peu plus sympathique : Pour la première, j’obtiens 64 plus huit 𝑎 plus 𝑐 égale zéro. Pour la deuxième, 100 moins 10 𝑏 plus 𝑐 égale zéro, et pour la troisième, 𝑐 égale zéro. Puisque 𝑐 égale zéro, les deux premières équations se simplifient de cette façon, et donc huit 𝑎 égale moins 64, donc 𝑎 égale moins huit, et moins 10 𝑏 égale moins 100, donc 𝑏 égale 10.

J’ai ainsi trouvé les valeurs de 𝑎, 𝑏 et 𝑐, et je vais maintenant les injecter dans cette équation ici, ce qui me donne 𝑥 au carré plus 𝑦 au carré moins huit 𝑥 plus 10 𝑦 égale zéro.

En résumé, nous avons étudié deux exemples de cercles qui passent par trois points, appelés ici dans le cas général 𝑃 un, 𝑃 deux et 𝑃 trois. Pour trouver l’équation de ce cercle, nous disons que les coordonnées de ces trois points doivent vérifier l’équation du cercle. Donc si c’est l’équation de forme canonique, on l’écrit sous la forme donc 𝑥 moins ℎ au carré plus 𝑦 moins 𝑘 au carré égale 𝑟 au carré, et on remplace 𝑥 et 𝑦 par une paire de coordonnées. Donc 𝑥 un 𝑦 un pour 𝑃 un, 𝑥 deux 𝑦 deux pour 𝑃 deux et 𝑥 trois 𝑦 trois pour 𝑃 trois.

Quand nous voulons obtenir l’équation du cercle dans sa forme générale, nous utilisons alors l’équation sous sa forme générale 𝑥 au carré plus 𝑦 au carré plus 𝑎𝑥 plus 𝑏𝑦 plus 𝑐 égale zéro. Et pour chaque paire de coordonnées, chaque paire d’abscisse et d’ordonnée, nous pouvons donc remplacer les 𝑥 et 𝑦 par les valeurs de nos coordonnées.

Dans le cas de la forme canonique, nous avons vu que puisque la partie droite de l’équation est la même dans les trois équations, nous pouvons réarranger ce système de trois équations à trois inconnues en un système de deux équations à deux inconnues. Par exemple, comme ceci. Puis en développant les expressions de part et d’autre du signe égal, on a vu que les ℎ au carré, les 𝑘 au carré se simplifient, et finalement, c’est un système assez simple à résoudre qui nous permet de trouver les valeurs de ℎ et 𝑘. Puis ensuite on utilise ces valeurs de ℎ et 𝑘 dans une des équations, donc par exemple celle-là. Et ça va nous permettre de trouver la valeur de 𝑟 au carré.

Dans le deuxième cas, nos inconnues sont 𝑎, 𝑏 et 𝑐. Nous avons trois équations à trois inconnues, et en résolvant ce système d’équations, nous trouvons les valeurs de 𝑎, 𝑏 et 𝑐.

Dans les deux cas nous donc trouvons les constantes à injecter dans l’équation de forme générale. Donc dans le premier cas, les constantes ℎ, 𝑘 et 𝑟 au carré, et dans le deuxième cas, les constantes 𝑎, 𝑏 et 𝑐, qui nous permettent ainsi d’écrire l’équation du cercle qui passe par trois points.