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Vidéo question :: Déterminer des masses inconnues dans un groupe de trois masses discrètes alignées sur un même axe étant donné les coordonnées de leur centre de gravité Mathématiques • Troisième année secondaire

Supposons que trois masses de 6 kg, 9 kg et 𝑚 kg se situent respectivement aux points (5 ; 9), (0 ; 6) et (−4 ; 3). Si le centre de gravité des trois masses est au point (1, 𝑦), alors quelles sont les valeurs de 𝑚 et 𝑦 ?

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Supposons que trois masses de 6 kilogrammes, 9 kilogrammes et 𝑚 kilogrammes se situent respectivement aux points cinq, neuf ; zéro, six ; moins quatre, trois. Si le centre de gravité des trois masses est au point un, 𝑦, alors quelles sont les valeurs de 𝑚 et 𝑦 ?

Si on le souhaite, on peut commencer par tracer un repère dans lequel on place les trois masses aux coordonnées données. En représentant les masses par des cercles, nous avons ici une masse de six kilogrammes au point cinq, neuf, une masse de neuf kilogrammes au point zéro, six et une masse de 𝑚 kilogrammes au point moins quatre, trois. On nous dit également que les coordonnées du centre de gravité de ces trois masses sont un, 𝑦. Nous devons calculer la masse inconnue de 𝑚 kilogrammes et la valeur de 𝑦.

Le centre de gravité d’un ensemble de masses ne correspond pas simplement à leur centre géométrique. Le centre de gravité dépend de la masse du système. Il existe une formule pour nous aider à le déterminer. Le vecteur position du centre de gravité, noté 𝐑, est égal à un sur 𝑀 fois la somme de 𝑖 allant de un à 𝑛 de 𝑚 indice 𝑖 fois le vecteur 𝐫 indice 𝑖. 𝑀 représente la masse totale du système de masses. 𝑚 indice 𝑖 représente la masse de l’objet 𝑖. Et le vecteur 𝐫 indice 𝑖 est le vecteur position de l’objet 𝑖.

Cette formule peut sembler compliquée, mais elle consiste simplement à multiplier la masse de chaque objet par son vecteur position, puis additionner tous ces produits et multiplier le résultat par un sur la masse totale. Cette formule utilise les vecteurs position des masses mais nous avons seulement leurs coordonnées, donc la première chose à faire est de réécrire les coordonnées en fonction des vecteurs position.

Nous allons considérer les couples de coordonnées dans l’ordre dans lequel elles nous ont été données, en commençant par cinq, neuf. Nous pouvons réécrire ces coordonnées en fonction de 𝐢 et 𝐣 sous la forme cinq 𝐢 plus neuf 𝐣. Nous considérons ensuite le deuxième couple de coordonnée, zéro, six, que nous réécrivons comme le vecteur position zéro 𝐢 plus six 𝐣. Mais puisque zéro 𝐢 est simplement égal à zéro, ce vecteur position peut simplement s’écrire six 𝐣. Le troisième couple de coordonnées, moins quatre, trois, peut s’écrire moins quatre 𝐢 plus trois 𝐣. Enfin, nous convertissons également les coordonnées un, 𝑦 pour obtenir le vecteur position un 𝐢 plus 𝑦𝐣. Ou plus simplement, le vecteur 𝐢 plus 𝑦𝐣.

Nous avons maintenant suffisamment d’informations pour remplacer ces valeurs dans notre formule, en se rappelant que nous avons déjà le vecteur position du centre de gravité. Nous commençons par remplacer le côté de gauche de l’équation par 𝐢 plus 𝑦𝐣. Puis, sur le côté droit, nous avons un sur six plus neuf plus 𝑚, ce qui correspond à la masse totale du système. Nous multiplions ensuite cela par six fois cinq 𝐢 plus neuf 𝐣, soit la masse du premier objet multipliée par son vecteur position. Nous additionnons à cela la masse du deuxième objet multipliée par son vecteur position, soit neuf fois six 𝐣. Enfin, nous additionnons la masse du troisième objet, 𝑚, fois son vecteur position, moins quatre 𝐢 plus trois 𝐣.

Nous allons maintenant simplifier le côté droit de l’équation. Nous commençons par la fraction, qui devient un sur 15 plus 𝑚. Puis nous développons la somme ce qui nous donne 30𝐢 plus 54𝐣 plus 54𝐣 moins quatre 𝑚𝐢 plus trois 𝑚𝐣. Nous poursuivons la simplification en regroupant les termes en la composante horizontale 𝐢 et ceux en la composante verticale 𝐣.

Notre équation complète devient alors 𝐢 plus 𝑦𝐣 égale un sur 15 plus 𝑚 multiplié par 30 moins quatre 𝑚 𝐢 plus 108 plus trois 𝑚 𝐣. Notons que nous avons encore deux inconnues dans cette équation : l’inconnue 𝑦 et l’inconnue 𝑚, qui apparaît à deux endroits. Pour les déterminer, nous allons utiliser le fait que les composantes horizontale et verticale doivent être identiques à gauche et à droite de l’équation. Pour plus de facilité, développons le côté droit de l’équation suivant un sur 15 plus 𝑚.

Le membre de droite devient 30 moins quatre 𝑚 sur 15 plus 𝑚 𝐢 plus 108 plus trois 𝑚 sur 15 plus 𝑚 𝐣. Nous pouvons maintenant comparer les coefficients de 𝐢 et 𝐣 de chaque côté de l’équation, en n’oubliant pas que sur le côté gauche, 𝐢 est simplement équivalent à un 𝐢. Faisons un peu de place pour la suite des calculs. Nous formons maintenant deux équations : un égal 30 moins quatre 𝑚 sur 15 plus 𝑚 et 𝑦 égal 108 plus trois 𝑚 sur 15 plus 𝑚.

Commençons par résoudre l’équation un. Tout d’abord, nous multiplions par 15 plus 𝑚 des deux côtés, ce qui nous donne 15 plus 𝑚 égale 30 moins quatre 𝑚. Puis, soit en une seule étape soit en deux, nous additionnons quatre 𝑚 et soustrayons 15 des deux côtés, ce qui nous donne cinq 𝑚 égale 15. Enfin, nous divisons par cinq des deux côtés pour obtenir 𝑚 égale trois. Nous avons trouvé la première des deux valeurs qui nous étaient demandées. Et cela signifie que la masse inconnue 𝑚 est de trois kilogrammes.

Nous pouvons utiliser ce résultat pour résoudre la seconde équation, dans laquelle nous remplaçons 𝑚 par trois. Cela nous donne 𝑦 égale 108 plus trois fois trois sur 15 plus trois. Le numérateur est égal à 108 plus neuf, ce qui fait 117. Et le dénominateur est égal à 18. Sous forme décimale, cela nous donne 𝑦 égale 6,5. N’oublions pas que la valeur de 𝑦 nous donne l’ordonnée du centre de gravité. Donc le centre de gravité a pour coordonnées un, 6,5, ce qui le place à peu près ici sur notre diagramme.

Si l’on a déjà tracé un diagramme, y ajouter le centre de gravité est un moyen rapide de vérifier si la valeur trouvée est raisonnable. Puisque nous avons déterminé que la masse inconnue est égale à trois kilogrammes, nous nous attendons à ce que le centre de gravité se situe légèrement à droite de cette masse de neuf kilogrammes. Nous avons la confirmation visuelle que l’ordonnée de notre centre de gravité est correcte. Nous pouvons donc conclure que 𝑚 est égal à trois et que 𝑦 est égal à 6,5.

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