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Vidéo de question : Déterminer l’inverse d’une matrice triangulaire supérieure Mathématiques

Considérez la matrice 𝐴 = [2, 1, 4, 0, 5, 3, 0, 0, 10]. Déterminez son inverse, sachant qu’elle a la forme 𝐴⁻¹ = [𝑥, 𝑝, 𝑞, 0, 𝑦, 𝑟, 0, 0, 𝑧], où 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑝, 𝑞 et 𝑟 sont des nombres que vous devrez déterminez.

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Transcription de vidéo

Considérez la matrice 𝐴 égale à deux, un, quatre, zéro, cinq, trois, zéro, zéro, 10. Déterminez son inverse, sachant qu’elle a la forme de l’inverse de la matrice 𝐴 moins un égal à 𝑥, 𝑝, 𝑞, zéro, 𝑦, 𝑟, zéro, zéro, 𝑧, où 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑝, 𝑞 et 𝑟 sont des nombres que vous devrez déterminer.

Bien, nous allons d’abord libérer un peu d’espace afin que nous puissions réellement avoir de la place pour faire ce travail. Nous avons donc libéré de l’espace. Comment allons-nous l’inverse de notre matrice ? Pour la trouver, nous allons respecter un certain nombre d’étapes. La première étape consiste à trouver la matrice des mineurs ; pour la deuxième étape, nous devons trouver la matrice des cofacteurs ; puis dans l’étape trois, nous devons trouver la matrice adjointe ; et enfin, pour la quatrième étape, nous multiplions par un sur le déterminant de notre matrice. Très bien ! Nous avons donc notre approche en quatre étapes, alors allons-y et commençons la première étape.

Nous avons ici notre matrice de mineurs 𝐴 𝑀. Maintenant, rappelons-nous comment nous avons trouvé les mineurs pour chaque élément. Pour trouver une mineur, voici ce que nous faisons : si nous regardons le premier élément, c’est-à-dire le premier élément de la première colonne et ligne, vous supprimez les valeurs ou les éléments qui se trouvent dans la colonne et la ligne de votre élément. Puis, vous regardez les quatre éléments restants parce que nous partons d’une matrice trois trois, et ici, nous aurions cinq, trois, zéro, 10. Alors, la mineur est le déterminant de cette sous-matrice deux fois deux. Nous avons utilisé cette méthode et complété notre matrice de mineurs.

Très bien ! Nous devons maintenant déterminer quelles sont les valeurs de chacun de ces éléments. Bien, pour nous rappeler comment nous trouvons le déterminant d’une matrice deux fois deux, nous examinons ce petit exemple ici. Si nous cherchions le déterminant la matrice deux deux 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, alors il serait égal à 𝑎𝑑 moins 𝑏𝑐. Nous multiplions en diagonale puis soustrayons. A titre d’exemple, pour le premier élément, nous aurions cinq multiplié par 10 moins trois multiplié par zéro, ce qui serait égal à 50.

Bien, nous allons simplement faire de l’élément suivant un autre exemple. Pour l’élément suivant, nous aurions zéro multiplié par 10 moins trois multiplié par zéro, ce qui est juste zéro. Voilà donc notre prochain élément rempli. Puis, nous continuons à utiliser cette méthode pour remplir le reste de nos éléments. Lorsque nous avons fait cela, nous avons 50, zéro, zéro, 10, 20, zéro, moins 17, six, 10. Voici notre matrice de mineurs, complétez donc la première étape. Alors, maintenant, nous passons à la deuxième étape, trouvez la matrice des cofacteurs.

Cette étape est en fait très simple car tout ce que nous devons faire est d’ajouter des signes à notre matrice de mineurs. Nous le faisons en utilisant la règle des signes, qui énonce que les signes dont nous avons besoin vont être positif, négatif, positif ; négatif, positif, négatif ; positif, négatif, positif. Ainsi, si nous les mettons ici, nous avons donc positif, négatif, positif; négatif, positif, négatif ; positif, négatif, positif. Cela nous laisse donc juste avec notre matrice des cofacteurs, qui est la matrice 50, zéro, zéro, moins 10, 20, zéro, moins 17, moins six, 10. Très bien, nous avons achevé la deuxième étape. Nous pouvons passer à la troisième étape.

Pour la troisième étape, nous devons trouver la matrice adjoint. Pour faire cela, nous regardons notre matrice des cofacteurs et nous regardons la diagonale qui va de haut à gauche en bas à droite et nous la gardons telle quelle. Puis, nous échangeons les autres éléments à travers cette diagonale. Lorsque nous faisons cela, nous avons la matrice 50, moins 10, moins 17, zéro, 20, moins six et zéro, zéro, 10. Nous voyons donc que nous avons échangé les emplacements. Très bien ! La troisième étape est terminée.

Maintenant, pour la quatrième étape, nous devons multiplier par un sur le déterminant. Bien, nous devons tout d’abord savoir quel est le déterminant de notre matrice. Vous pourriez penser : « Cien, ce sera une démarche assez longue.» En fait, ce n’est pas le cas ; le calcul va être très facile parce que nous avons déjà déterminé les mineurs pour chaque élément de notre matrice. Comment cela va nous aider ?

Bien, si nous nous rappelons comment nous trouvons le déterminant d’une matrice trois trois - je vais rapidement libérer un espace en bas à droite pour le faire. Bien, si nous avons la matrice 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒, 𝑓, 𝑔, ℎ, 𝑖, alors le déterminant de cette matrice est égal à 𝑎 multiplié par la mineur associée soit 𝑒, 𝑓, ℎ, 𝑖 - ou la sous-matrice deux deux 𝑒, 𝑓, ℎ, 𝑖 – puis moins 𝑏 multiplié par le déterminant de 𝑑, 𝑓, 𝑔, 𝑖 plus 𝑐 multiplié par le déterminant de 𝑑, 𝑒, 𝑔, ℎ.

Eh bien, comme nous avons déjà la valeur de nos mineurs ou les déterminants de nos sous-matrices deux deux, tout ce que nous avons à faire est de multiplier ces nombres par 𝑎, 𝑏 et 𝑐. Ainsi, nous allons obtenir que le déterminant de 𝐴 va être égal à deux multiplié par 50, nous obtenons cela parce que deux est le premier élément de notre matrice 𝐴 et que 50 est le premier élément de notre matrice des mineurs, moins un multiplié par zéro plus quatre multiplié par zéro. Ainsi, cela va nous donner 100. Nous savons donc maintenant que le déterminant de notre matrice 𝐴 est 100.

Maintenant, pour la quatrième étape, nous devons multiplier la matrice adjointe par un sur cette valeur. Nous savons donc que l’inverse de notre matrice va être égal à un sur 100 multiplié par la matrice 50, moins 10, moins 17, zéro, 20, moins six, zéro, zéro, 10. Lorsque nous faisons cela, nous obtiendrons la matrice un demi, moins un sur 10, moins 17 sur 100, zéro, un cinquième, moins trois sur 50, zéro, zéro, un sur 10. Ceci est l’inverse de la matrice deux, un, quatre, zéro, cinq, trois, zéro, zéro, 10, où les valeurs de 𝑥, 𝑝, 𝑞, 𝑦, 𝑟, 𝑧 sont un demi, moins un dixième, moins 17 sur 100, un cinquième, moins trois sur 50 et un sur 10, respectivement.

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