Transcription de la vidéo
Quel est le rapport entre le courant total produit par le circuit représenté sur le schéma (a) et le courant total produit par le circuit représenté sur le schéma (b) ? On donnera le résultat avec deux décimales.
Dans cette question, on nous donne deux circuits différents contenant des combinaisons différentes de résistances en série et en parallèle. Et il faut déterminer le rapport entre le courant total produit par le circuit du schéma (a) et celui du schéma (b). Pour les deux circuits, on nous donne la valeur de la différence de potentiel fournie par le générateur et les valeurs de toutes les résistances. Comme nous devons utiliser ces informations pour déterminer une valeur de courant, il faut utiliser la loi d’Ohm.
Rappelons que la loi d’Ohm s’écrit généralement 𝑉 égal à 𝐼 fois 𝑅, où 𝑉 est la différence de potentiel, 𝐼 est le courant et 𝑅 est la résistance. Ici, nous nous intéressons au calcul d’un courant. Modifions donc cette équation pour exprimer 𝐼. Pour cela, nous divisons simplement les deux côtés de l’équation par 𝑅, ce qui donne 𝐼 égal à 𝑉 divisé par 𝑅. Alors, sur les schémas, nous avons la différence de potentiel aux bornes de chaque circuit. Mais pour utiliser la loi d’Ohm pour un circuit entier, nous devons d’abord déterminer sa résistance totale. Nous pouvons faire cela en calculant la résistance équivalente des différentes combinaisons de résistances de chaque circuit.
Nous allons commencer par considérer le circuit du schéma (a). Pour être organisés, appelons la résistance de 3,5 ohms 𝑅 indice un, la résistance de 2,5 ohms 𝑅 indice deux et la résistance de 1,5 ohm 𝑅 indice trois. Nous pouvons voir que les résistances 𝑅 un et 𝑅 deux sont connectées en parallèle. Mais 𝑅 trois n’est pas connecté en parallèle car elle se trouve sur la même branche de circuit que le générateur. Alors, nous allons d’abord déterminer la résistance équivalente aux deux résistances en parallèle, puis la combiner avec la résistance restante connectée en série. Cela nous donnera la résistance totale du circuit.
Rappelons que quel que soit le nombre de résistances connectées en parallèle, la résistance équivalente est égale à l’inverse d’un sur 𝑅 un plus un sur 𝑅 deux et ainsi de suite. Ici, nous pouvons remplacer les résistances 𝑅 un et 𝑅 deux par une résistance équivalente que nous appellerons 𝑅 indice 𝑥, dont la résistance est donnée par l’expression 𝑅 𝑥 égale l’inverse d’un sur 𝑅 un plus un sur 𝑅 deux. En remplaçant les valeurs de 𝑅 un et 𝑅 deux, nous obtenons que 𝑅 𝑥 est égal à l’inverse de un sur 3,5 ohms plus un sur 2,5 ohms, ce qui donne 1,4583 etc. ohms. C’est la résistance équivalente aux deux résistances connectées en parallèle.
Maintenant que le circuit est modélisé par deux résistances, 𝑅 𝑥 et 𝑅 trois, qui sont connectées en série, rappelons que quel que soit le nombre de résistances en série, la résistance équivalente est simplement la somme des résistances individuelles, 𝑅 un plus 𝑅 deux et ainsi de suite. Nous pouvons donc remplacer les résistances 𝑅 𝑥 et 𝑅 trois par une seule résistance équivalente que nous appellerons 𝑅 indice 𝐴, dont la résistance est donnée par l’expression 𝑅 𝐴 égale 𝑅 𝑥 plus 𝑅 trois. En remplaçant les valeurs de 𝑅 𝑥 et 𝑅 trois, nous obtenons que 𝑅 𝐴 est égal à 1,4583 ohms plus 1,5 ohms, ce qui est égal à 2,9583 ohms. Comme la résistance 𝑅 𝐴 est la résistance équivalente à la combinaison des trois résistances représentées sur le schéma (a), il s’agit de la résistance totale du circuit.
Maintenant que nous avons déterminé la résistance totale de ce premier circuit, regardons maintenant le circuit représenté sur le schéma (b). De même, nous allons appeler la résistance de 3,5 ohms 𝑅 un, la résistance de 2,5 ohms 𝑅 deux et la résistance de 1,5 ohm 𝑅 trois. Ici, nous voyons que les résistances 𝑅 deux et 𝑅 trois sont connectées en série et que 𝑅 un est connectée aux deux autres en parallèle. Pour déterminer la résistance totale du circuit, nous allons commencer par déterminer la résistance équivalente aux deux résistances en série, puis la combiner avec la résistance restante connectée en parallèle. Remplaçons donc les résistances 𝑅 deux et 𝑅 trois par une résistance équivalente que nous appellerons 𝑅 indice 𝑦, dont la résistance est égale à 𝑅 deux plus 𝑅 trois. En remplaçant les valeurs de 𝑅 deux et 𝑅 trois, nous obtenons que 𝑅 𝑦 est égal à 2,5 ohms plus 1, ohms, soit quatre ohms.
Maintenant que le circuit est modélisé avec deux résistances 𝑅 𝑦 et 𝑅 un, connectées en parallèle, nous pouvons les remplacer par une seule résistance équivalente, 𝑅 indice 𝐵, dont la résistance est donnée par 𝑅 𝐵 égale l’inverse de un sur 𝑅 𝑦 plus un sur 𝑅 un. En remplaçant les valeurs de 𝑅 𝑦 et 𝑅 un, nous obtenons que 𝑅 𝐵 est égal à l’inverse de un sur quatre ohms plus un sur 3,5 ohms, soit 1,8666 etc. ohms. Il s’agit de la résistance totale du circuit représentée sur le schéma (b).
Maintenant que nous connaissons la résistance totale de chaque circuit, nous pouvons déterminer le rapport entre le courant total du circuit du schéma (a) et celui du schéma (b). Ce rapport s’écrit 𝐼 indice 𝐴 divisé par 𝐼 indice 𝐵. Mais avant de calculer, faisons un peu de place à l’écran et utilisons la loi d’Ohm pour remplacer ces deux termes.
Comme le courant est égal à la différence de potentiel divisée par la résistance, le rapport devient 𝑉 𝐴 sur 𝑅 𝐴 divisé par 𝑉 𝐵 sur 𝑅 𝐵, où 𝑉 𝐴 et 𝑉 𝐵 sont les valeurs de la différence de potentiel fournies par les générateurs du circuit. Notons que la différence de potentiel fournie par le générateur dans chaque circuit est la même, soit 𝑉 𝐴 égal à 𝑉 𝐵. Cela signifie que nous pouvons simplifier les deux termes de la différence de potentiel dans le rapport, et nous obtenons un sur 𝑅 𝐴 divisé par un sur 𝑅 𝐵. Pour simplifier, rappelons que pour diviser par une fraction, nous pouvons simplement multiplier par l’inverse du dénominateur. Le rapport s’écrit donc simplement 𝑅 𝐵 sur 𝑅 𝐴.
Nous pouvons enfin remplacer ces valeurs pour calculer le résultat final. 𝑅 sur 𝑅 𝐴 est égal à 1,8666 ohms sur 2,9583 ohms. Notons que les ohms se simplifient dans l’expression, ce qui est logique car un rapport est généralement un nombre sans unité. Maintenant, en utilisant une calculatrice, nous obtenons un résultat d’environ 0,6310. N’oublions pas qu’on nous demande d’arrondir le résultat à deux décimales, ce qui donne 0,63.
Nous avons donc obtenu que le rapport entre le courant total produit par le circuit représenté sur le schéma (a) et le courant total produit par le circuit représenté sur le schéma (b) est de 0,63.