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Vidéo de question : Principe de Pascal Physique

Un objet solide tombe dans de l’eau ayant une densité de 1000 kg/m³. À l’instant où le haut de l’objet se trouve à 25 cm sous la surface de l’eau, l’eau exerce une pression sur le haut, le bas et les côtés de l’objet, comme indiqué sur le schéma. Calcule 𝑃₁, 𝑃₂ et 𝑃₃.

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Transcription de vidéo

Un objet solide tombe dans de l’eau ayant une densité de 1000 kilogrammes par mètre cube. À l’instant où le haut de l’objet se trouve à 25 cm sous la surface de l’eau, l’eau exerce une pression sur le haut, le bas et les côtés de l’objet, comme indiqué sur le schéma. Trouve 𝑃 un. Trouve 𝑃 deux. Trouve 𝑃 trois.

Sur le schéma, l’objet est immergé sur une distance complète de 25 centimètres sous la surface de l’eau. De plus, on observe ces trois pressions exercées sur le haut, les côtés et le bas de l’objet respectivement, 𝑃 un en haut, 𝑃 deux sur le côté et 𝑃 trois en bas. Ce sont ces trois pressions que l’on souhaite calculer. Pour ce faire, il sera utile de rappeler une relation nous indiquant la pression créée par un liquide à une certaine profondeur sous la surface de ce liquide.

Si on a un liquide de densité 𝜌 qui remplit un récipient et que l’on souhaite connaître la pression 𝑃 créée par le liquide en un point du liquide, on multiplie la densité du liquide 𝜌 par l’accélération due à la gravité 𝑔. Puis, si ce point auquel on cherche la pression est situé à une distance, qu’on note ℎ, sous la surface du liquide. Alors, on multiplie également la densité et la gravité du liquide par ce terme. La pression en une profondeur ℎ sous la surface d’un liquide de densité 𝜌 est égale à 𝜌 fois 𝑔 fois ℎ.

Ici, dans notre cas, le liquide en question est de l’eau. Et on nous donne sa densité, 1000 kilogrammes par mètre cube. Connaissant la densité 𝜌, on peut maintenant rappeler ce que vaut 𝑔, l’accélération due à la gravité à la surface de la Terre. On peut approximer cette accélération à 9,8 mètres par seconde au carré. Puisque l’on connait la densité 𝜌 et l’accélération gravitationnelle 𝑔, tout ce qu’il nous reste à trouver est ℎ la profondeur sous la surface du liquide à laquelle on cherche la pression.

C’est là que le schéma s’avère utile. On sait qu’on souhaite calculer 𝑃 un, qui est la pression sur le haut de l’objet, la pression ici en cette profondeur sous la surface de notre liquide. Et le schéma indique ce que vaut cette profondeur. Elle est de 25 centimètres. Cela signifie que l’on peut écrire une équation pour la pression 𝑃 un sur le haut de l’objet. Elle est égale à la densité du liquide multipliée par 𝑔 multipliée par la profondeur en ce point, soit 25 centimètres sous le niveau de la surface. Et on peut ici insérer les valeurs de 𝜌 et 𝑔. On sait que la densité est de 1000 kilogrammes par mètre cube et que 𝑔 vaut 9,8 mètres par seconde au carré.

À présent, on remarque que les unités de distance dans nos expressions pour 𝜌 et dans notre expression pour 𝑔 sont des mètres, mais on a une distance mesurée en centimètres pour notre valeur de ℎ. Donc, on va convertir cela en mètres afin que les unités restent cohérentes. On rappelle que 100 centimètres valent un mètre. Cela signifie que, pour convertir 25 centimètres en mètres, on va déplacer la virgule de deux crans vers la gauche. Ainsi, on constate que 25 centimètres valent 0,25 mètre.

Avant de multiplier ces trois termes et de calculer 𝑃 un, regardons à nouveau les unités impliquées dans ces termes. On a des kilogrammes par mètre cube multipliés par des mètres par seconde au carré multipliés par des mètres. Du fait des unités de distance, on a deux puissances de mètre au numérateur, ici et ici. Et on a trois puissances au dénominateur ici. Cela signifie que deux de ces unités de mètres s’annulent en haut et en bas, au numérateur et au dénominateur. Et lorsqu’on les annule, on constate qu’il reste simplement des unités de mètres au dénominateur.

Et encore une fois, ceci se produit après avoir multiplié ces trois valeurs entre-elles. Si on rassemblait toutes les unités restantes et qu’on les mettait à l’extrême droite de cette expression, on verrait que nos unités finales finiraient par être en kilogrammes par mètre seconde carré. Si on devait réorganiser ces unités, on obtiendrait que cela équivaut à un newton par mètre carré. Il s’agit de la même chose qu’un kilogramme par mètre seconde au carré.

Mais si on réfléchit à ce qu’est un newton par mètre carré, cela équivaut à l’unité de pression du système international, le pascal. Puisqu’un newton par mètre carré est un pascal, et un newton par mètre carré est la même unité que celle avec laquelle on se retrouve dans notre expression. Ainsi, les unités globales obtnues après avoit calculé 𝑃 un, sont des pascals, l’unité de pression de base du système international. Cela étant dit, on mulitiplie maintenant ces trois nombres entre-eux afin de calculer la pression 𝑃 un en pascals. Ceci nous donne un résultat de 2450 pascals. Il s’agit ainsi de la pression exercée sur le haut de notre objet.

Ensuite, pour revenir au schéma, on souhaite calculer la pression 𝑃 deux, la pression exercée sur les côtés de l’objet. Tout comme avant, on écrit une équation pour cette pression, dans ce cas 𝑃 deux, en termes de densité, d’accélération due à la gravité et de la hauteur de ce point particulier sous le niveau de la surface. Et comme cette hauteur est différente de la hauteur précédente, on lui attribue un indice. On la note ℎ deux.

On connait déjà la densité et 𝑔 ; elles sont les mêmes qu’avant. Mais on cherche ici h deux. En regardant le schéma, on voit que 𝑃 deux, cette pression exercée sur le côté de notre objet, s’exerce exactement à 7,5 centimètres au-dessous de la profondeur de 𝑃 un. En d’autres termes, si on prend la valeur de la profondeur de notre point de pression 𝑃 un, 25 centimètres et qu’on lui ajoute sept centimètres et demi, on aura alors la hauteur exacte, ou, dans ce cas, la profondeur, de ce point correspondant à la pression 𝑃 deux. Donc, ℎ deux est égal à 25 centimètres plus 7,5 centimètres, ou, en d’autres termes, 32,5 centimètres.

Maintenant, comme auparavant, on va convertir cette valeur donnée en centimètres en unités de mètres. Et pour ce faire, on va décaler la virgule de deux crans vers la gauche et obtenir que cette profondeur, au point de pression 𝑃 deux, en unités de mètres est de 0,325 mètres. En utilisant les valeurs de la densité et de 𝑔, lorsque l’on multiplie ces trois nombres entre-eux, encore une fois, on obtient un résultat en unités de pascals. Cette fois, cependant, on calcule une pression de 3185 pascals. Le fait que cette pression 𝑃 deux soit supérieure à la pression calculée pour 𝑃 un est logique car on est maintenant situé en un point plus profond que pour 𝑃 un.

Vu que l‘on a calculé les pressions 𝑃 un et 𝑃 deux sur le haut et les côtés de notre objet, respectivement, on va calculer la pression sur le bas de l’objet, 𝑃 trois. Encore une fois, on va mulitiplier la densité de notre liquide, l’eau, par l’accélération due à la gravité multipliée par la hauteur sous la surface de ce point 𝑃 trois.

Sur le schéma, on observe que la face inférieure de notre objet est située à une distance de 7,5 centimètres sous le côté de l’objet où on vient de calculer la profondeur de 𝑃 deux. Ainsi, la profondeur du bas de notre objet est à nouveau égale à 25 centimètres plus sept centimètres et demi plus sept centimètres et demi. Ou, en d’autres termes, 25 centimètres plus 15 centimètres, ce qui donne 40 centimètres. Ensuite, comme on l’a fait auparavant, on convertit ce nombre en centimètres en mètres. Ce qui est égal à 0,40 mètres.

Enfin, on utilise encore une fois les valeurs de 𝜌 et 𝑔. Et ensuite, on va mulitplier ces trois nombres entre-eux. Ainsi, on obtient un résultat de 3920 pascals. C’est la pression que l’on a calculée comme agissant sur le bas de cet objet. On a donc finalement calculé la pression sur le haut, les côtés et le bas de notre objet, comme indiqué sur le schéma.

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