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clulez le volume du solide généré par une révolution de la région délimitée par la courbe d’équation 𝑦 est égal à moins 𝑥 carré plus deux 𝑥 et l’axe des 𝑥 autour de l’axe des 𝑥.
Nous rappelons que la formule que nous utilisons pour trouver le volume d’un solide généré par la révolution d’une région autour de l’axe 𝑥 est l’intégrale définie entre 𝑎 et 𝑏 de 𝐴 de 𝑥 par rapport à 𝑥, où 𝐴 de 𝑥 est une fonction qui décrit l’aire de la section transversale du volume en un point donné. Maintenant, parfois une formule plus agréable à utiliser est l’intégrale définie entre 𝑎 et 𝑏 de 𝜋 fois 𝑦 au carré par rapport à 𝑥, où 𝑥 est égal à 𝑎 et 𝑥 est égal à 𝑏 sont les droites verticales qui délimitent notre zone. Il s’agit de la formule que nous allons appliquer dans cette question.
Maintenant, pour voir ce qui se passe, commençons par tracer la courbe de 𝑦 est égal à 𝑥 au carré plus deux 𝑥. Pour trouver le passage par l’axe des 𝑥, nous allons fixer 𝑦 est égal à zéro et trouver 𝑥. Nous avons moins 𝑥 carré plus deux 𝑥 est égal à zéro. Factorisons par 𝑥 de telle sorte que 𝑥 fois moins 𝑥 plus deux est égal à zéro. Maintenant, bien sûr, cette affirmation ne peut être vraie que si 𝑥 est égal à zéro ou si moins 𝑥 plus deux est égal à zéro. Si nous résolvons la deuxième équation en ajoutant 𝑥 des deux côtés, nous trouvons que 𝑥 est égal à deux. Ainsi , voici les racines de notre équation. Ce sont les points où la courbe coupe l’axe des 𝑥.
L’équation elle-même est une expression du second degré avec un coefficient négatif pour 𝑥 au carré. Cela signifie que cela ressemble à une parabole inversée, comme indiqué. Nous allons faire tourner cette zone sur 360 degrés autour de l’axe des 𝑥. Puisque cette zone est délimitée par les droites verticales d’équation 𝑥 est égal à zéro et 𝑥 est égal à deux, nous pouvons dire que 𝑎 lui-même doit être égal à zéro et 𝑏 doit être égal à deux. Ainsi, le volume est l’intégrale définie entre zéro et deux de 𝜋 fois 𝑦 au carré. Maintenant, 𝑦 est l’équation moins 𝑥 au carré plus deux 𝑥. Nous pouvons mettre le facteur constant de 𝜋 en dehors de notre intégrale. Puis, la meilleure façon d’intégrer cela est simplement de distribuer nos parenthèses. Lorsque nous le faisons, nous trouvons que notre équation devient 𝑥 à la puissance quatre moins quatre 𝑥 au cube plus quatre 𝑥 au carré. Alors, effectuons l’intégration.
Nous savons que pour intégrer un terme polynomial dont l’exposant n’est pas égal à moins un, nous ajoutons un à l’exposant, puis nous divisons par ce nouvel exposant. Cela signifie que l’intégrale de 𝑥 à la puissance quatre est 𝑥 à la puissance cinq divisée par cinq. Lorsque nous intégrons moins quatre 𝑥 au cube, nous obtenons moins quatre 𝑥 à la puissance quatre divisée par quatre. Ceci se simplifie en moins 𝑥 à la puissance quatre. Puis, l’intégrale de quatre 𝑥 au carré est quatre 𝑥 au cube sur trois. Maintenant, nous devons évaluer cela entre les limites de zéro et deux. Ainsi, cela devient 𝜋 fois deux à la puissance cinq sur cinq moins deux à la puissance quatre plus quatre fois deux au cube sur trois le tout moins zéro.
Cela devient 𝜋 fois 32 sur cinq moins 16 plus 32 sur trois. Puis, nous allons créer un dénominateur commun de 15. Pour ce faire, nous multiplions 32 sur cinq par trois sur trois. Nous écrivons moins 16 comme moins 16 sur un, puis multiplions par 15. Enfin, nous multiplions 32 sur trois par cinq sur cinq. Cela donne 𝜋 fois 96 sur 15 moins 240 sur 15 plus 160 sur 15. Ceci se simplifie complètement en 16𝜋 sur 15. Ainsi, nous pouvons dire que le volume du solide généré par une révolution de la région délimitée par la courbe d’équation 𝑦 est égal à moins 𝑥 au carré plus deux 𝑥 et l’axe des 𝑥 autour de l’axe des 𝑥 est de 16𝜋 sur 15 unités cubiques.
