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Déterminez, au centième près, la distance entre les droites parallèles d'équations 𝑥 égale un plus trois 𝑡, 𝑦 égale sept plus deux 𝑡, 𝑧 égale quatre plus cinq 𝑡 et 𝑥 égale trois moins trois 𝑡, 𝑦 égale six moins deux 𝑡, 𝑧 égale quatre moins cinq 𝑡.
D’accord, nous avons donc ces deux droites parallèles, que nous pouvons appeler droite un et droite deux. Et nous souhaitons calculer la distance perpendiculaire entre ces droites. Nous appellerons cette distance 𝑑. Nous avons besoin de trois informations pour pouvoir la calculer. Tout d’abord, nous devons connaître les coordonnées d’un point sur la première droite, nous l’appellerons 𝑃 un. Nous devons également connaître un point sur la droite deux et nous l’appellerons 𝑃 deux. Et enfin, nous devrons connaître les composantes d’un vecteur directeur de ces deux droites. Nous appellerons ce vecteur 𝐯. Une fois que nous saurons tout cela, nous pourrons utiliser cette formule pour calculer la distance entre ces deux droites parallèles.
Nous voyons que cette formule implique un vecteur 𝐯, c’est le vecteur directeur des droites, et un deuxième vecteur que nous avons appelé 𝐏 un 𝐏 deux. Et ce vecteur ressemble à ceci sur notre schéma. Il va du point 𝑃 un de la droite un au point 𝑃 deux de la droite deux. Commençons par déterminer un point sur la droite un, c’est-à-dire les coordonnées d’un point 𝑃 un. Nous pouvons les déterminer grâce à l’équation de la droite un, qui nous est donnée sous forme paramétrique. Écrite sous cette forme, nous avons trois équations pour les coordonnées 𝑥, 𝑦 et 𝑧 de chaque point de cette droite, et il est possible de convertir les équations paramétriques de cette droite en une équation dite vectorielle. Cela implique de combiner les trois équations en une seule, où 𝐫 est un vecteur de composantes 𝑥, 𝑦 et 𝑧.
Cette forme de l’équation de la droite commence par le vecteur allant de l’origine du repère au point un, sept, quatre. Ce point se trouve sur la droite un, puis il se déplace parallèlement à ce vecteur trois, deux, cinq multiplié par le paramètre 𝑡. On peut alors dire que le point de coordonnées un, sept, quatre se situe sur la droite 𝐿 un. Et il s’agit donc de notre point 𝑃 un. En outre, ce vecteur trois, deux, cinq est un vecteur directeur de la droite, et nous pouvons donc l’appeler 𝐯.
Maintenant que nous connaissons un point 𝑃 un et un vecteur 𝐯, faisons un peu de place et commençons à étudier l’équation de la droite deux. Notre objectif est de trouver un point 𝑃 deux appartenant à cette droite. Tout comme pour la droite un, l’équation de la droite deux nous est donnée sous forme paramétrique. Cela signifie que nous pouvons écrire l’équation de cette droite sous forme vectorielle comme le vecteur position du point trois, six, quatre plus 𝑡 fois un autre vecteur directeur de la droite deux. Puisque le point trois, six, quatre est sur 𝐿 deux, nous pouvons l’appeler 𝑃 deux.
Nous avons donc à présent toutes les informations dont nous avons besoin pour commencer à calculer la distance 𝑑. La première chose que nous allons faire est de déterminer les composantes de ce vecteur 𝐏 un 𝐏 deux. On peut les calculer en soustrayant les coordonnées du point 𝑃 un à celles de 𝑃 deux. En substituant les coordonnées obtenues, on trouve que le vecteur 𝑃 un 𝑃 deux a les composantes trois moins un, soit deux, six moins sept, soit moins un et quatre moins quatre, ce qui fait zéro. Et maintenant que nous connaissons ce vecteur, nous allons calculer son produit vectoriel avec 𝐯. Ce produit vectoriel est égal au déterminant de cette matrice trois fois trois. Dans la ligne du haut, on a les vecteurs unitaires 𝐢, 𝐣 et 𝐤 ; et dans les lignes suivantes, on a les composantes en 𝑥, 𝑦 et 𝑧 de 𝐏 un 𝐏 deux et 𝐯.
La composante en 𝐢 est égale au déterminant de cette matrice deux fois deux. Moins un fois cinq moins zéro fois deux égale moins cinq. Puis la composante en 𝐣 est égale à moins le déterminant de cette matrice, qui est égal à deux fois cinq moins zéro fois trois, soit 10. Et enfin, la composante en 𝐤 de ce produit vectoriel est égale au déterminant de cette matrice. Deux fois deux moins moins un fois trois égale plus sept. Il s’agit donc de notre produit vectoriel, que nous pouvons écrire sous forme vectorielle avec les composantes moins cinq, moins 10, sept.
Très bien, nous sommes maintenant prêts à déterminer 𝑑 en calculant la norme de 𝐏 un 𝐏 deux vectoriel 𝐯 et en la divisant par la norme de 𝐯. La norme du produit vectoriel est égale à racine carrée de moins cinq au carré plus moins 10 au carré plus sept au carré, tandis que la norme de 𝐯 est égale à racine carrée de trois au carré plus deux au carré plus cinq au carré. Et en entrant cette expression entière dans une calculatrice, on obtient une réponse de 2,14 au centième près. Il s’agit de la distance la plus courte entre ces deux droites parallèles.
