Transcription de la vidéo
Déterminez l’ensemble des valeurs vérifiant l’équation cinq cosinus carré 𝜃 est égal à quatre, où 𝜃 est supérieur ou égal à zéro et strictement inférieur à 360 degrés. Donnez la réponse à la minute d’arc près.
On nous demande de résoudre l’équation trigonométrique cinq cosinus carré 𝜃 égale quatre pour 𝜃, où 𝜃 est supérieur ou égal à zéro et strictement inférieur à 360 degrés. Alors, par où commencer ? Bien, nous commençons la résolution de la même manière que pour toute autre équation. Nous allons diviser les deux côtés par cinq de telle sorte que cosinus carré 𝜃 soit égal à quatre cinquièmes ou 0,8. Ensuite, nous prenons la racine carrée des deux côtés de notre équation, en nous rappelant de prendre à la fois la racine carrée positive et négative de quatre cinquièmes. La racine carrée de quatre cinquièmes peut être écrite comme deux racine de cinq sur cinq. Ainsi, nous avons deux équations que nous devons résoudre, cosinus de 𝜃 est égal à deux racine de cinq sur cinq ou moins deux racine de cinq sur cinq.
Nous résolvons pour 𝜃 en prenant le cosinus réciproque des deux côtés de notre équation. Lorsque nous prenons le cosinus réciproque de deux racine de cinq sur cinq, en nous assurant que notre calculatrice est en mode degré, nous obtenons 26,5650 etc. Le cosinus réciproque de moins deux racine de cinq sur cinq est 153,4349 etc. Maintenant, nous allons laisser ces valeurs comme ça pour l’instant, mais nous n’avons pas tout à fait terminé. Nous voulions trouver l’ensemble de valeurs pour 𝜃 est supérieur ou égal à zéro et strictement inférieur à 360 degrés. Il y a plusieurs façons de trouver les autres solutions.
Une façon consiste à penser à la forme du graphique 𝑦 est égal à cosinus de 𝑥. Dans l’intervalle où 𝜃 est supérieur ou égal à zéro à strictement inférieur à 360, il ressemble un peu à ceci avec des maxima à un et des minima à moins un. La droite 𝑦 est égale à deux racine de cinq sur cinq ressemble un peu à ceci. Nous savons qu’il a une solution en 26,5 etc degrés. Maintenant, nous pouvons voir que le graphique a un axe de symétrie autour de la droite 𝑥 est égal à 180 degrés, nous trouvons donc l’autre valeur de 𝜃 en soustrayant 26,5 etc. de 360 degrés. Cela nous donne 333,4349 etc.
De même, si nous traçons la droite 𝑦 est égal à moins deux racine de cinq sur cinq, cela ressemble un peu à ceci. Cette fois, une solution se situe à 153,4 degrés etc. Pour trouver la quatrième solution, nous soustrayons cela à 360. Cela nous donne 206,5650 etc. Maintenant, nous voulons arrondir nos réponses à la minute d’arc près. Nous pourrions multiplier la partie décimale par 60 pour y parvenir. Alternativement, il y a un bouton sur la plupart des calculatrices qui le fera pour nous. Cela ressemble un peu à ceci. Lorsque nous appuyons sur ce bouton pour notre première valeur, nous obtenons 26 degrés et 34 minutes à la minute près. Nous obtenons 153 degrés et 26 minutes pour notre solution suivante. Nos deux autres solutions sont 260 degrés et 34 minutes et 333 degrés et 26 minutes. Ainsi, l’ensemble des valeurs qui satisfont notre solution sont présentées.
Maintenant, il y avait une autre façon pour nous de trouver ces valeurs : en utilisant le cercle trigonométrique. Il ressemble à ceci. Nous numérotons les quadrants, et cela nous montre où nos valeurs pour cosinus 𝜃, sinus 𝜃, tangente 𝜃, ou les trois, sont positives. Maintenant, notre première solution pour cosinus 𝜃 égale deux racine de cinq sur cinq était 26,56 etc. L’autre solution sera ici dans le quatrième quadrant où cosinus 𝜃 est positif. Nous trouvons cette valeur de 𝜃 en soustrayant 26,56 de 360. Cela nous donne, à la minute d’arc près 333 degrés et 26 minutes. Notre autre solution était 𝜃 égal à 153,43 etc. Cosinus 𝜃 est également négatif dans ce troisième quadrant, nous soustrayons donc 153,43 etc. à 360 degrés. Encore une fois, nous obtenons 206 degrés et 34 minutes à la minute d’arc près.