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Vidéo question :: Convertir une équation logarithmique en équation exponentielle Mathématiques • Deuxième année secondaire

Laquelle des expressions suivantes équivaut à log_(𝑎) 𝑥 = 𝑦 ?

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Laquelle des expressions suivantes équivaut à logarithme de base 𝑎 de 𝑥 égale 𝑦 ? Est-ce la réponse (A) logarithme de base 𝑎 de 𝑦 égale 𝑥 ? (B) 𝑎 puissance 𝑥 égale 𝑦. (C) 𝑎 puissance 𝑦 égale 𝑥. Ou (D) 𝑦 égale 𝑎 fois 𝑥?

Cette question nous demande de déterminer laquelle des quatre équations est équivalente à l’équation logarithme de base 𝑎 de 𝑥 égale 𝑦. Et pour répondre à cette question, commençons par rappeler la définition du logarithme. Les fonctions logarithmes sont définies comme les réciproques des fonctions exponentielles. En particulier, si le logarithme de base 𝑎 de 𝑥 est égal à 𝑦, alors 𝑎 puissance 𝑦 doit être égal à 𝑥.

Et pour nous aider à voir le lien entre ces deux équations, prenons le logarithme des deux membres de la deuxième équation. Cela nous donne logarithme de base 𝑎 de 𝑎 puissance 𝑦 doit être égal au logarithme de base 𝑎 de 𝑥. Et nous allons maintenant simplement utiliser le fait qu’une fonction exponentielle de base 𝑎 et une fonction logarithme de même base 𝑎 sont les fonctions réciproques l’une de l’autre. En d’autres termes, le logarithme base 𝑎 de 𝑎 puissance 𝑦 doit être égal à 𝑦. C’est la fonction identité. Donc, cette équation se simplifie par log de base 𝑎 de 𝑥 égale 𝑦. Et nous pouvons voir qu’il s’agit de la réponse (C). 𝑎 puissance 𝑦 doit être égal à 𝑥.

Et nous pourrions nous arrêter ici. Mais vérifions cependant si les trois autres options sont équivalentes à la même équation par souci de complétude. Et nous allons le faire à l’aide d’un exemple. On rappelle que pour toute base 𝑏, qui est un nombre positif différent de un, log de base 𝑏 de 𝑏 est égal à un. En particulier, cela nous indique que le log de base deux de deux est égal à un. Et cela va être notre équation logarithmique de la forme log de base 𝑎 de 𝑥 égale 𝑦. Donc, la valeur de 𝑎 est deux, la valeur de 𝑥 est deux et la valeur de 𝑦 est un. Nous pouvons alors vérifier si les trois autres options proposées par la question sont vraies pour ces valeurs de 𝑎, 𝑥 et 𝑦.

Commençons par la réponse (A). Le membre gauche de cette équation est log de base 𝑎 de 𝑦. La valeur de 𝑎 est deux et la valeur de 𝑦 est un. Donc, le membre gauche de cette équation est log de base deux de un. Et nous pouvons évaluer cette expression. Pour tout nombre réel 𝑏 positif et différent de un, log de base 𝑏 de un est égal à zéro. Par conséquent, log de base de deux de un doit être égal à zéro. Mais l’option (A) dit que cela doit être égal à 𝑥, qui est lui-même égal à deux. Donc l’option (A) ne peut pas être correcte.

Nous pouvons ensuite faire la même chose pour la réponse (B). Le membre gauche de cette équation est 𝑎 puissance 𝑥. La valeur de 𝑎 est deux et la valeur de 𝑥 est deux. Cela nous donne donc deux au carré, ce qui est égal à quatre. Cependant, le membre droit de cette équation est 𝑦, mais 𝑦 est égal à un, et non quatre. Par conséquent, l’option (B) n’est pas vraie non plus.

Nous pouvons enfin suivre exactement le même raisonnement pour la réponse (D). Le membre droit de cette équation est 𝑎 fois 𝑥. La valeur de 𝑎 est deux et la valeur de 𝑥 est deux. Donc, le membre droit de cette équation est deux fois deux, soit quatre. Mais le membre gauche de cette équation est 𝑦, qui est égal à un. Donc l’option (D) ne fonctionne pas non plus.

Par conséquent, parmi les quatre équations proposées, seule l’option (C), 𝑎 puissance 𝑦 égale 𝑥, est équivalente à logarithme de base 𝑎 de 𝑥 égale 𝑦.

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