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Vidéo question :: Utiliser une fonction taux d’accroissement pour déterminer une inconnue Mathématiques • Deuxième année secondaire

Si la fonction taux d’accroissement de 𝑓 (𝑥) = 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 en 𝑥 = 𝑑 est 𝑉 (ℎ) = 𝑎ℎ² + 𝑏ℎ, alors quelle est la valeur de 𝑑 ?

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Si la fonction taux d’accroissement de 𝑓 de 𝑥 est égal à 𝑎𝑥 au carré plus 𝑏𝑥 en 𝑥 est égal à 𝑑 est 𝑉 de ℎ est égal à 𝑎ℎ au carré plus 𝑏ℎ, alors quelle est la valeur de 𝑑 ?

Dans cette question, on nous donne une fonction du second degré 𝑓 de 𝑥 qui est égale à 𝑎𝑥 au carré plus 𝑏𝑥. On nous dit que lorsque 𝑥 est égal à 𝑑, la fonction taux d’accroissement de cette fonction du second degré 𝑓 de 𝑥 est donnée par 𝑉 de ℎ est égal à 𝑎ℎ au carré plus 𝑏ℎ pour certaines constantes inconnues 𝑎 et 𝑏. Nous devons utiliser ces informations pour déterminer la valeur de 𝑑.

Pour ce faire, commençons par rappeler ce que nous entendons par la fonction taux d’accroissement d’une fonction 𝑓 de 𝑥 en 𝑥 est égal à 𝑑. Nous pouvons rappeler qu’il s’agit de la fonction 𝑉 de ℎ qui est égale à 𝑓 évaluée en 𝑑 plus ℎ moins 𝑓 évaluée en 𝑑. En d’autres termes, cette fonction mesure à quel point la fonction 𝑓 change lorsque ses valeurs d’entrée passent de 𝑑 à 𝑑 plus ℎ. Dans cette question, on nous donne une expression pour la fonction taux d’accroissement 𝑉 de ℎ en 𝑥 est égal à 𝑑. Cela donne 𝑎ℎ carré plus 𝑏ℎ.

Nous pouvons substituer cette expression au membre gauche de l’équation. Nous pouvons également trouver une expression pour le côté droit de cette équation en notant qu’on nous donne la fonction 𝑓 de 𝑥. L’expression donne 𝑎𝑥 carré plus 𝑏𝑥. Nous pouvons donc remplacer 𝑥 est égal à 𝑑 plus ℎ et 𝑥 est égal à 𝑑 dans cette fonction afin de trouver une expression pour le côté droit de cette équation. Premièrement, si nous substituons 𝑥 est égal à 𝑑 plus ℎ dans la fonction 𝑓 de 𝑥, nous obtenons 𝑎 fois 𝑑 plus ℎ le tout au carré plus 𝑏 multiplié par 𝑑 plus ℎ. Ensuite, nous devons soustraire 𝑓 évalué en 𝑑, que nous pouvons trouver en substituant 𝑥 est égal à 𝑑 dans 𝑓 de 𝑥. Nous soustrayons 𝑎𝑑 au carré plus 𝑏𝑑. Cela nous donne alors une équation en fonction de 𝑎, ℎ, 𝑏 et 𝑑.

Réorganisons maintenant cette équation. Commençons par distribuer le carré sur les parenthèses. Nous pouvons le faire en utilisant la formule binomiale ou en développant les parenthèses 𝑑 plus ℎ multipliées par 𝑑 plus ℎ. Nous obtenons 𝑑 carré plus deux 𝑑ℎ plus ℎ carré. Nous devons multiplier cette expression par 𝑎. Nous pouvons également distribuer le moins sur les deux termes à la fin de cette expression. Cela nous donne que 𝑎ℎ au carré plus 𝑏ℎ est égal à 𝑎 fois 𝑑 au carré plus deux 𝑑ℎ plus ℎ au carré plus 𝑏 fois 𝑑 plus ℎ moins 𝑎𝑑 au carré moins 𝑏𝑑.

Nous pouvons simplifier davantage le côté droit en distribuant le facteur 𝑎 et le facteur 𝑏 sur les parenthèses. Cela nous donne l’équation suivante, que nous pouvons simplifier. Nous avons 𝑎𝑑 au carré moins 𝑎𝑑 au carré, soit zéro. Nous avons aussi 𝑏 fois 𝑑 moins 𝑏 fois 𝑑, cela donne aussi zéro. Nous pouvons également noter que nous avons 𝑎ℎ au carré à gauche et à droite de l’équation et 𝑏 fois ℎ à la fois à gauche et à droite de l’équation. Nous pouvons donc soustraire 𝑎ℎ au carré des deux côtés de l’équation et 𝑏 plus ℎ également. Cela nous donne zéro est égal à deux fois 𝑎 fois 𝑑 multiplié par ℎ.

Ainsi, pour que cette équation soit vraie, l’une de nos inconnues doit être égale à zéro. Il convient de noter que cela ne peut pas être ℎ car ℎ est une variable. Elle peut prendre n’importe quelle valeur pour notre fonction de variation. 𝑎 est un paramètre de notre équation d’origine, il est donc différent de zéro. Sinon, notre fonction d’origine ne serait pas du second degré. Ainsi, la seule façon pour que cette équation soit vraie pour toutes les valeurs de ℎ serait que 𝑑 soit égal à zéro. Par conséquent, nous avons pu montrer que si la fonction taux d’accroissement de 𝑓 de 𝑥 est égale à 𝑎𝑥 au carré plus 𝑏𝑥 en 𝑥 est égal à 𝑑 est 𝑉 de ℎ est égal à 𝑎ℎ au carré plus 𝑏ℎ, alors la valeur de 𝑑 doit être nulle.

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