Vidéo : Factorielles

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à déterminer la factorielle de tout nombre 𝑛, qui est le produit de tous les entiers relatifs inférieurs ou égaux à 𝑛 et supérieurs ou égaux à un, et nous allons apprendre à déterminer les factorielles pour résoudre des problèmes.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à trouver la factorielle de tout nombre 𝑛, qui est le produit de tous les entiers relatifs inférieurs ou égaux à 𝑛 et supérieurs ou égaux à un. Nous apprendrons aussi comment trouver les factoriels pour résoudre des problèmes et résoudre des problèmes contenant des permutations et des factorielles. Pour commencer, voyons une définition écrite et algébrique d’une factorielle.

La factorielle d’un entier positif 𝑛 est le produit de tous les entiers positifs inférieurs ou égaux à 𝑛. Nous utilisons la notation 𝑛 suivie d’un point d’exclamation, qui est lue comme factorielle 𝑛. Factorielle 𝑛 est égale à 𝑛 multiplié par 𝑛 moins un multiplié par 𝑛 moins deux et ainsi de suite fois deux fois un. Nous définissons également la factorielle zéro comme étant égale à un, c’est-à-dire que factorielle zéro est égale à un. Nous savons également que pour tout entier relatif 𝑛 supérieur ou égal à un, factorielle 𝑛 est égale à 𝑛 multiplié par factorielle 𝑛 moins un. Nous pouvons le constater à partir de la règle générale pour factorielle 𝑛 ci-dessus. Cette propriété sera vraiment utile pour résoudre les problèmes plus compliqués dans cette vidéo. Cependant, nous allons commencer par résoudre un problème simple.

Evaluez factorielle quatre.

Nous rappelons que la factorielle de tout entier relatif positif 𝑛 est le produit de tous les entiers relatifs positifs inférieurs ou égaux à 𝑛. Cela signifie que la factorielle de 𝑛 est égale à 𝑛 multiplié par 𝑛 moins un multiplié par 𝑛 moins deux et ainsi de suite jusqu’à un. Factorielle quatre est donc égale à quatre multiplié par trois multiplié par deux multiplié par un. Quatre fois trois égale 12. La multiplication par deux nous donne 24, et la multiplication par un est également 24. Nous pouvons multiplier les nombres entiers quatre, trois, deux et un dans n’importe quel ordre pour obtenir une réponse de 24. Ainsi, factorielle quatre est égale à 24.

Dans notre question suivante, nous allons résoudre un problème plus compliqué.

Simplifiez l’expression factorielle six sur factorielle quatre moins factorielle 27 sur factorielle 28. Donnez la réponse sous forme de fraction.

Nous rappelons que factorielle 𝑛 est égale à 𝑛 multiplié par 𝑛 moins un multiplié par 𝑛 moins deux et ainsi de suite jusqu’à un. Cela signifie que nous pourrions calculer factorielle six en multipliant six par cinq par quatre par trois par deux et par un. Cela ne serait pas trop difficile pour la première fraction, mais calculer factorielle 27 et factorielle 28 de cette manière prendrait beaucoup de temps. On peut donc rappeler une autre règle pour le calcul de la factorielle 𝑛. Elle est égale à 𝑛 multiplié par factorielle 𝑛 moins un. On pourrait aussi voir que factorielle 𝑛 est égale à 𝑛 multiplié par 𝑛 moins un multiplié par factorielle 𝑛 moins deux. Cela nous permet de réécrire factorielle six comme six fois cinq fois factorielle quatre.

Le premier terme de notre question se simplifie en six fois cinq fois factorielle quatre le tout divisé par factorielle quatre. Comme les factorielles quatre s’annulent, il nous reste six fois cinq. Ce qui égale 30. Nous pouvons utiliser à nouveau cette méthode pour la deuxième fraction car factorielle 28 est égale à 28 multiplié par factorielle 27. Cette fois, les factorielles 27 s’annulent, nous laissant avec un sur 28. Nous devons soustraire un sur 28 ou un vingt-huitième de 30. Ceci est égal au nombre fractionnaire 29 et vingt-sept vingt-huitièmes.

Afin d’écrire notre réponse sous forme de fraction, nous devrons la convertir en une fraction impropre. Pour ce faire, nous multiplions d’abord le nombre entier 29 par le dénominateur 28. Cela donne 812. Nous ajoutons ensuite le numérateur 27, ce qui nous donne 839. L’expression factorielle six sur factorielle quatre moins factorielle 27 sur factorielle 28 est égale à la fraction 839 sur 28.

Dans notre question suivante, nous allons utiliser nos connaissances sur les factorielles pour résoudre une équation algébrique.

Trouvez la solution de l’ensemble de un sur 𝑛 plus factorielle sept plus un sur 𝑛 plus factorielle huit égale 256 sur 𝑛 plus factorielle neuf.

Il y a plusieurs façons d’aborder cette question. Une façon serait de multiplier les deux côtés par 𝑛 plus factorielle neuf. En multipliant le premier terme par 𝑛 plus factorielle neuf, on obtient 𝑛 plus factorielle neuf sur 𝑛 plus factorielle sept. Le deuxième terme à gauche devient 𝑛 plus factorielle neuf sur 𝑛 plus factorielle huit. Comme 𝑛 plus factorielle neuf divisé par 𝑛 plus factorielle neuf est égal à un, alors le côté droit devient 256.

On rappelle que factorielle 𝑟 est égale à 𝑟 multiplié par factorielle 𝑟 moins un. Cela signifie que factorielle 𝑛 plus neuf peut être réécrit comme 𝑛 plus neuf multiplié par factorielle 𝑛 plus huit ou 𝑛 plus neuf multiplié par 𝑛 plus huit multiplié par factorielle 𝑛 plus sept. Le premier terme se simplifie donc en 𝑛 plus neuf multiplié par 𝑛 plus huit. Le deuxième terme se simplifie en 𝑛 plus neuf. 𝑛 plus neuf multiplié par 𝑛 plus huit multiplié par 𝑛 plus neuf est égal à 256.

Nous pouvons distribuer les parenthèses ou développer les parenthèses en utilisant la méthode FOIL. En multipliant les premiers termes, on obtient 𝑛 au carré, les termes extérieurs huit 𝑛, les termes intérieurs neuf 𝑛 et les derniers termes 72. Nous avons maintenant une équation 𝑛 au carré plus huit 𝑛 plus neuf 𝑛 plus 72 plus 𝑛 plus neuf est égale à 256. En rassemblant les termes similaires, la partie gauche est simplifiée en 𝑛 au carré plus 18𝑛 plus 81. Nous pouvons alors soustraire 256 des deux côtés de l’équation, de sorte que 𝑛 au carré plus 18𝑛 moins 175 est égal à zéro.

Nous pouvons maintenant factoriser cette expression du second degré en deux séries de parenthèses. Le premier terme de chacune d’entre elles est 𝑛, car 𝑛 multiplié par 𝑛 est 𝑛 au carré. Les deuxièmes termes auront une somme de 18 et un produit de moins 175. 25 multiplié par sept donne 175. Cela signifie que 25 multiplié par moins sept est moins 175. Les nombres 25 et moins 7 ont également une somme de 18. Comme cette expression est égale à zéro, une de nos parenthèses doit être égale à zéro. Cela signifie que soit 𝑛 est égal à moins 25, soit 𝑛 est égal à sept. Les factorielles ne sont définies que pour les nombres entiers non négatifs. Cela signifie que nous pouvons rejeter la solution 𝑛 égale moins 25. La valeur de 𝑛 qui satisfait à l’équation est 𝑛 égale sept. L’ensemble de solutions de l’équation contient seulement le nombre sept.

Notre dernière question implique des permutations et les factorielles. Avant de passer à ce sujet, nous allons rappeler la définition d’une permutation. Une permutation est un réarrangement d’un ensemble d’éléments. Elle est définie comme le nombre de façons dont nous pouvons ranger des éléments 𝑟 à partir d’un ensemble d’éléments 𝑛 sans répétition. Nous l’écrivons comme indice 𝑛, P majuscule, indice 𝑟. On le lit simplement comme 𝑛P𝑟. Elle est définie par factorielle 𝑛 divisé par factorielle 𝑛 moins 𝑟. Par exemple, neuf P cinq égale factorielle neuf divisé par factorielle neuf moins cinq. Cela est simplifie en factorielle neuf divisée par factorielle quatre.

En utilisant la propriété que factorielle 𝑛 est égale à 𝑛 multiplié par factorielle 𝑛 moins un, alors factorielle neuf est égale à neuf fois huit fois sept fois six fois cinq fois factorielle quatre. Comme les factorielles quatre s’annulent, nous pouvons alors multiplier les cinq entiers neuf, huit, sept, six et cinq, ce qui nous donne 15 120.

Nous allons maintenant répondre à une question impliquant des permutations et des factorielles.

Sachant que 𝑛P𝑟 égale 504 et que factorielle 𝑟 est égale à six, trouvez les valeurs de 𝑛 et 𝑟.

Nous rappelons qu’en travaillant avec les permutations, 𝑛P𝑟 est égale à factorielle 𝑛 sur factorielle 𝑛 moins 𝑟. On nous dit aussi dans la question que factorielle 𝑟 est égale à six. C’est une factorielle que l’on peut calculer assez facilement. Nous savons que trois fois deux fois un égale six. Cela signifie que factorielle trois est égale à six. Notre valeur de 𝑟 est donc trois.

On nous a dit que 𝑛P𝑟 est égale à 504. Par conséquent, 𝑛P trois est égale à 504. En substituant avec 𝑟 égale trois dans notre formule générale de permutation, nous avons factorielle 𝑛 divisé par factorielle 𝑛 moins trois égale 504. Factorielle 𝑛 peut être réécrite comme 𝑛 multiplié par 𝑛 moins un multiplié par 𝑛 moins deux multiplié par factorielle 𝑛 moins trois. En divisant ce résultat par factorielle 𝑛 moins trois, on obtient 𝑛 fois 𝑛 moins un fois 𝑛 moins deux. Cela équivaut à 504. Nous cherchons donc trois entiers consécutifs qui se multiplient pour nous donner 504.

Nous pourrions essayer de calculer ces valeurs en faisant des essais et des erreurs. Cependant, il existe une astuce que nous pouvons utiliser pour trouver trois entiers relatifs consécutifs qui se multiplient pour donner un nombre. Nous commençons par prendre la racine cubique de ce nombre. La racine cubique de 504 est 7,958 et ainsi de suite. En quoi cela nous aide-t-il ? Ce n’est pas un nombre entier. Ce que nous pouvons faire, c’est prendre les nombres entiers de part et d’autre de ce nombre. Dans ce cas, ce sont sept et huit. Nous pouvons maintenant diviser notre nombre, dans ce cas 504, par les deux entiers. 504 divisé par sept est 72. Par conséquent, sept multiplié par 72 est 504. Nous divisons maintenant 72 par le deuxième nombre entier huit. 72 divisé par huit est égal à neuf. Par conséquent, huit multiplié par neuf est 72.

Nous avons maintenant écrit 504 comme le produit de trois entiers consécutifs. Ces entiers sont sept, huit et neuf, qui correspondent respectivement à 𝑛 moins deux, 𝑛 moins un et 𝑛. Notre valeur de 𝑛 est de neuf. Si 𝑛P𝑟 est égal à 504 et factorielle 𝑟 est six, alors 𝑟 est égal à trois et 𝑛 est égal à neuf. Il y a des méthodes légèrement différentes que nous aurions pu utiliser pour calculer 𝑟 et ensuite calculer 𝑛. Revenons d’abord sur le fait que nous savons que factorielle 𝑟 est égale à six.

Lorsqu’on essaie de trouver un entier inconnu étant donné sa factorielle, on peut le diviser par des entiers positifs consécutifs. Cela signifie que nous commençons par diviser notre nombre six par un. Ceci égale six. Nous divisons ensuite par le nombre entier positif suivant, soit deux. Six divisé par deux est trois. Nous divisons ensuite par le nombre entier positif suivant qui est trois, et trois divisé par trois est un. Comme six divisé par un divisé par deux divisé par trois est égal à un, alors six est aussi égal à trois fois deux fois un. Nous avons prouvé une fois de plus que factorielle trois est égale à six. Ainsi, 𝑟 est égal à trois.

Une fois arrivés au stade où 𝑛 multiplié par 𝑛 moins un multiplié par 𝑛 moins deux était égal à 504, nous aurions pu utiliser notre connaissance des facteurs premiers pour essayer de les réarranger en nombres entiers consécutifs. 504 est égal à deux fois 252. 252 est égal à deux fois 126. En répétant ce processus en divisant par des nombres premiers, nous pouvons écrire 504 comme un produit de ses facteurs premiers. 504 est égal à deux fois deux fois deux fois sept fois trois fois trois. Cela peut être réécrit comme deux au cube fois sept fois trois au carré. Deux au cube égale huit, et trois au carré égale neuf. Encore une fois, nous avons trois nombres entiers consécutifs sept, huit et neuf tels que sept est égal à 𝑛 moins deux, huit est égal à 𝑛 moins un et neuf est égal à 𝑛.

Nous allons maintenant résumer les points clés de cette vidéo. La factorielle d’un entier relatif positif 𝑛 est définie comme le produit de tous les entiers positifs inférieurs ou égaux à 𝑛. La propriété clé de la factorielle est que factorielle 𝑛 est égale à 𝑛 multiplié par factorielle 𝑛 moins un. Nous pouvons utiliser cela pour simplifier les expressions en utilisant des factorielles et aussi pour résoudre des équations factorielles. Lorsque nous essayons de trouver un entier inconnu étant donné sa factorielle, nous divisons par des entiers positifs consécutifs jusqu’à ce que nous obtenions une réponse de un. Enfin, nous avons vu que le nombre de permutations de taille 𝑟 pris dans un ensemble de taille 𝑛 est donné par 𝑛P𝑟 égale factorielle 𝑛 divisée par factorielle 𝑛 moins 𝑟.

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