Vidéo: Introduction aux puissances

Transcription de la vidéo

Puissances, indices et exposants mettant en vedette les exposants et les trois règles

Nous allons jeter un œil à la logique et les conventions autour des puissances, des indices et des exposants. En fait, ils désignent tous la même chose ; mais selon l’endroit où vous vivez, vous les connaîtrez sous l’un de ces noms. Nous allons aussi parler des trois règles de travail avec les puissances : la règle d’addition, la règle de soustraction, et la règle de multiplication. Nous avons donc des puissances, des indices ou des exposants. Mais je vais simplement les appeler des puissances dans cette vidéo. Ils se composent d’un nombre de base — ici cinq est le nombre de base — et d’un exposant, qui est ce petit nombre juste au-dessus de lui — appelé la puissance ou l’indice ou l’exposant.

Dans les cas simples, la puissance vous indique combien de fois écrire le nombre de base, puis mettre des signes de multiplication entre eux et effectuer le calcul. Notre base de cinq est donc écrite deux fois car la puissance est de deux. Écrivez donc les cinq deux fois, mettez les signes de multiplication entre les deux, puis effectuez les calculs : cinq fois cinq est égal à vingt-cinq. Maintenant, avec trois à la puissance quatre, trois est le nombre de base ; quatre est la puissance. Donc on va écrire trois quatre fois, on va mettre des signes de multiplication entre eux, puis on va faire le calcul. Donc, trois fois trois font neuf ; trois fois trois font neuf. Nous avons donc obtenu neuf fois neuf, ce qui équivaut à quatre-vingt-un. Donc, trois à la puissance quatre, nous avons écrit trois quatre fois, multiplié ensemble et obtenu une réponse de quatre-vingt-un.

Cela fonctionne également exactement de la même manière avec les fractions : la base ici est un demi et la puissance est quatre. Nous avons donc écrit un demi quatre fois, mis nos signes de multiplication entre eux, et je vais les multiplier ensemble : un fois un fois un fois un sur un est un, et deux fois deux fois deux fois deux sur un- deux, quatre, huit - est seize. La réponse est donc un sur seize. Maintenant, il convient également de mentionner qu’il existe une façon légèrement différente d’écrire ceci parce que nous avons un fois un fois un sur le numérateur, nous pouvons en écrire une à la puissance quatre sur le numérateur et nous avons eu deux fois deux fois deux fois deux sur le dénominateur, on peut écrire deux à la puissance quatre sur le dénominateur.

Ces deux choses sont interchangeables et exactement la même chose. Donc, vous avez peut-être remarqué que j’ai utilisé des parenthèses autour de ma fraction d’origine et cela nous dit que tout ce qui est entre parenthèses est à la puissance quatre : celui en haut et les deux en bas. Si j’avais écrit ma fraction comme ceci : un demi à la puissance quatre, cela ressemblerait davantage à celle qui était à la puissance quatre et les deux ne seraient pas inclus dans cela. C’est pourquoi notre astuce est d’utiliser des parenthèses pour clarifier les choses. Si vous voulez que la fraction entière soit élevée à la puissance quatre, mettez-la entre parenthèses pour la rendre claire et claire.

Les puissances peuvent également être appliqués aux bases de nombres négatifs, mais là encore, les parenthèses sont fortement recommandées pour plus de clarté. Essayez de taper moins trois à la puissance deux sur votre calculatrice comme il est écrit ici. C’est un peu un test de la précision de votre calculatrice. Techniquement, la puissance deux a une priorité plus élevée que le signe moins. Cela signifie que la calculatrice doit d’abord mettre les trois au carré, puis appliquer ensuite le signe moins pour obtenir une réponse de moins neuf ; c’est la bonne réponse. Si vous voulez mettre au carré moins trois, vous devez mettre les moins trois entre parenthèses. Moins trois le tout à la puissance deux, cela signifie moins trois fois moins trois. Et dans ce cas, moins fois moins donne un plus. Donc, cette réponse va être plus neuf.

Le format est très important ; utilisez donc des parenthèses pour plus de clarté. Maintenant, vous devez également faire très attention aux signes moins et vous demander si la puissance est impaire ou paire. Voyons donc quelques exemples. Moins deux le tout à la puissance quatre : nous avons écrit notre moins deux fois sur quatre, nous avons mis nos signes de multiplication entre les deux, et maintenant nous allons faire le calcul. Nous pouvons donc les associer : moins deux fois moins deux font plus quatre ; moins deux fois moins deux fait également plus quatre. Maintenant, en multipliant ceux-ci, plus quatre plus quatre sont égaux à plus seize. Donc, avec des puissances égales, nos moins se sont associés pour créer des nombres positifs. Et quand nous avons multiplié tous les nombres positifs ensemble, nous avons obtenu une réponse positive.

Examinons maintenant une puissance impair : moins deux à la puissance cinq. Nous avons moins deux écrit cinq fois et les signes de multiplication entre les moins deux et nous allons maintenant faire le calcul. Encore une fois, en les associant, moins deux fois moins deux sont plus quatre ; moins deux fois moins deux sont plus quatre. Mais maintenant, il nous en reste moins un. Donc, avec une puissance impaire, nous jumelons les moins un pour faire plus un. Et cela va fonctionner tout au long, mais nous nous retrouverons avec un nombre négatif à la fin. Nous allons donc avoir plus quatre fois plus quatre fois moins deux. Et dans ce cas, seize fois moins deux égal moins trente-deux. Donc, avec une puissance impair, nous allons obtenir une réponse négative.

Donc, la règle générale : si vous avez une base négative avec une puissance égale, le résultat sera positif car tous les moins un s’associent pour devenir plus un lorsque vous les multipliez ensemble. Si vous avez une base négative à une puissance impaire, le résultat sera négatif car tous les nombres de base négatifs, sauf un, vont se coupler pour annuler pour créer des nombres positifs, puis vous vous retrouverez avec un autre nombre négatif pour le multiplier à la fin. Et le résultat sera négatif.

C’est donc l’essentiel que vous devez savoir sur les cas de puissances les plus simples. Lorsque la puissance est un entier positif, elle correspond à une multiplication répétée de la base. Donc 𝑎 à la puissance 𝑥 est 𝑎 fois 𝑎 fois 𝑎 fois 𝑎 fois 𝑎. Et nous écrivons les 𝑎 𝑥 fois, puis nous les multiplions. Vous devez cependant faire un peu attention à la façon dont vous le décrivez, car il est souvent dit que la puissance vous dit combien de fois vous multipliez la base par elle-même, mais ce n’est pas tout à fait vrai. Par exemple, avec cinq à la puissance deux, vous ne multipliez pas cinq par lui-même deux fois ; vous écrivez le chiffre cinq deux fois, puis vous multipliez ces nombres ensemble. Vous le multipliez donc une seule fois. Donc, cette méthode abrégée d’écrire un nombre, le multiplier par lui-même beaucoup de fois est une convention utilisée par les mathématiciens depuis des centaines d’années. Et il a même été étendu des puissances entières positives aux puissances négatives et même aux puissances fractionnaires, mais c’est une histoire pour un autre jour.

Voyons maintenant ce qui se passe lorsque nous multiplions ensemble deux nombres sous forme de puissance avec la même base. Nous avons trois à la puissance deux fois trois à la puissance quatre. Nous avons donc deux trois écrits ici multipliés ensemble et nous avons quatre trois écrits ici multipliés ensemble. Donc, au total, nous en avons six. Donc, trois fois trois fois trois fois trois fois trois fois trois, c’est trois à la puissance six. Donc, ce que nous avons fait, c’est que nous avons ajouté ces deux et ces quatre tous en puissance, donc deux plus quatre, ce qui nous a donné six de ces trois multipliés.

Et faisons-en un autre : sept à la puissance trois fois sept à la puissance cinq. J’ai trois sept multipliés ici et cinq sept ici. Si je les multiplie, j’ai une grande et longue chaîne de trois plus cinq, c’est huit sept. Donc ça va être sept à la puissance huit. C’est sept écrits huit fois et tous se sont multipliés.

Maintenant, il est très important que nous ayons la même base ; sinon, vous ne pouvez pas simplement ajouter les puissances. Par exemple, deux à la puissance trois fois trois à la puissance quatre. Nous avons multiplié trois par deux et nous avons multiplié par quatre, mais nous ne pouvons pas vraiment les combiner ; nous ne pouvons plus simplifier cela. Ce n’est pas deux à la puissance sept et ce n’est pas trois à la puissance sept ; c’est juste deux à la puissance trois fois trois à la puissance quatre. Ainsi, lorsque vous n’avez pas la même base, vous ne pouvez pas simplement ajouter des puissances. Pour décrire ce processus, nous pourrions dire qu’en multipliant deux nombres sous forme de puissance avec la même base, nous ajoutons simplement les puissances ou 𝑎 à la puissance 𝑥 fois 𝑎 à la puissance 𝑦 nous donne 𝑎 à la puissance 𝑥 plus 𝑦.

Voyons maintenant ce qui se passe lorsque nous divisons deux nombres sous forme de puissance avec la même base. Nous avons trois à la puissance quatre divisé par trois à la puissance deux. Cela signifie donc trois fois trois fois trois fois trois en haut — c’est trois à la puissance quatre — et trois fois trois en bas — c’est nos trois carrés. Maintenant, je peux diviser le haut par trois et je peux diviser le bas par trois, donc j’annule ces deux trois. Je peux diviser le haut par trois et je peux diviser le bas par trois, donc j’annule ces trois. Mais maintenant, il n’y a rien d’autre que je puisse annuler, donc je me retrouve avec trois fois trois en haut et une en bas. Eh bien en divisant par un, nous pouvons simplement laisser cela, ce qui signifie que je viens de partir avec trois carrés. Donc, en regardant en arrière, nous avons commencé par quatre, tous les trois se sont multipliés ensemble au sommet parce que nous avions trois à la puissance quatre et nous en avons effectivement enlevé deux — nous en avons barré deux, annulé deux — parce que nous avait deux sur le dénominateur que nous allons annuler. Nous avons donc commencé avec quatre trois ; nous en avons emporté deux, ce qui nous a laissé deux.

Un autre exemple rapide, cinq à la puissance six divisé par cinq à la puissance trois. Nous avons six cinq en haut et trois cinq en bas. Nous pouvons annuler trois des cinq. Nous pouvons donc retirer ces trois de ces six, ce qui nous laisse avec trois à gauche. Nous soustrayons donc les puissances ; commencer avec six cinq, retirer trois cinq nous laisse avec cinq à la puissance trois. Pour décrire ce processus, nous pourrions dire qu’en divisant deux nombres sous forme de puissance avec la même base, nous soustrayons simplement les puissances. Et nous avons 𝑎 au 𝑥 divisé par 𝑎 au 𝑦 ; nous soustrayons simplement les puissances 𝑎 à la puissance 𝑥 moins 𝑦. Encore une fois, il est très important que vous ayez la même base pour que cela fonctionne. Si nous avions cinq à la puissance trois divisé par sept à la puissance quatre, nous avons cinq sur le dessus, sept sur le bas. Rien ne s’annule ; nous ne pouvons pas simplifier cela. Les puissances ne peuvent pas être soustraites dans ce cas.

Enfin, regardons ce qui se passe lorsque nous élevons une base à une puissance, puis nous élevons ce nombre entier à une autre puissance. Alors, combien de deux finissons-nous par se multiplier ici ? Eh bien, deux à la puissance trois signifie que nous avons multiplié trois par deux. Mais parce que tout est à la puissance quatre, nous allons le faire quatre fois. Nous avons donc quatre fois trois groupes de deux, donc nous allons essentiellement multiplier ces deux puissances ensemble pour nous donner deux à la puissance douze.

Un autre exemple rapide, cinq à la puissance deux à la puissance sept. Eh bien, cinq à la puissance deux n’est que deux cinq écrits et multipliés ensemble, et nous l’avons fait sept fois ; nous prenons tout cette parenthèse ici et le répétons sept fois — le multiplions par lui-même sept fois. Alors, combien de fois ai-je multiplié cinq au total ? Eh bien, c’est sept fois deux ; c’est quatorze cinq. Donc, en multipliant les puissances ensemble, cela me donne la réponse que je cherche à condition d’avoir la même base.

Pour décrire ce processus, nous pourrions dire qu’en élevant un nombre de base à une puissance puis en élevant ce résultat à une autre puissance, nous multiplions simplement les puissances ensemble ou 𝑎 à la puissance 𝑥 le tout à la puissance 𝑦 est égal à 𝑎 à la puissance 𝑥 fois 𝑦. Nous devons être très prudents lorsque nous écrivons ceci ; encore une fois les parenthèses sont roi. Parce que si nous écrivons simplement 𝑎 au 𝑥 au 𝑦 comme nous avons ici, la convention est de travailler d’abord sur le 𝑥 au 𝑦 puis d’élever 𝑎 à ce puissance ; ce n’est pas la même chose que 𝑎 à la puissance 𝑥 à la puissance 𝑦. Ainsi, par exemple, si nous écrivions deux à la puissance trois à la puissance quatre comme nous l’avons ici, cela signifie deux à la puissance trois à la puissance quatre qui est de deux à la puissance quatre-vingt-un. Et la réponse est plus de deux septillions ; c’est un nombre supérieur à ce que ma calculatrice peut gérer. donc je ne sais pas ce que sont tous ces chiffres, mais c’est essentiellement un deux avec vingt-quatre autres chiffres après. Mais si je fais deux à la puissance trois, le tout à la puissance quatre, cela signifie que deux à la puissance trois est huit, huit à la puissance quatre, et huit à la puissance quatre est simplement égal à quatre mille quatre-vingt-seize. Il est donc clair que ces deux choses sont des réponses très, très différentes. Utilisez donc des parenthèses pour plus de clarté ; sinon, vous pourriez finir par faire massivement le mauvais calcul.

Donc, juste un bref résumé alors, 𝑎 à la puissance 𝑥 : le 𝑎 est la base et la puissance là-bas 𝑥 — parfois appelé la puissance, parfois appelé l’indice, et parfois appelé l’exposant. Lorsque nous écrivons notre nombre dans ce format, nous l’appelons forme de puissance. Lorsque nous faisons le calcul réel et que nous arrivons à un nombre, nous l’appelons simplement un nombre ordinaire. Lorsque nous appliquons cela aux fractions, en utilisant la parenthèse, nous indiquons que la fraction entière doit être élevée à la puissance que nous spécifions. Et quand nous avons déballé cela, nous pouvons voir que nous avons les deux à la puissance trois et les trois à la puissance trois dans ce cas particulier. Lorsque nous avons affaire à des bases négatives si nous avons une puissance impaire, nous allons nous retrouver avec une réponse négative ; si nous avons une puissance paire, nous allons nous retrouver avec une réponse positive. Et très finalement, nous avons appris la règle d’addition où nous ajoutons les puissances, la règle de soustraction où nous soustrayons les puissances et la règle de multiplication où nous devons multiplier les puissances. Et n’oubliez pas qu’en cas de doute, utilisez des parenthèses.