Vidéo question :: Dériver des fonctions comprenant des racines carrées en utilisant la règle de dérivation des fonctions composées Mathématiques

Transcription de la vidéo

Détermine la dérivée de la fonction définie par 𝑓 de 𝑥 égale à deux fois racine carrée de deux 𝑥 moins un.

Dans cette question, on nous demande de déterminer l’expression de la dérivée de la fonction 𝑓 de 𝑥. Nous pouvons voir que 𝑓 de 𝑥 est égale à deux fois racine carrée de deux 𝑥 moins un. Or, la racine carrée de deux 𝑥 moins un est une fonction composée de deux fonctions. Nous prenons la racine carrée d’une fonction linéaire. Nous allons donc vouloir utiliser la règle de dérivation des fonctions composées pour calculer cette dérivée. Rappelons la règle de dérivation des fonctions composées. Soit une fonction 𝑓 de 𝑥 qui est la composée de deux fonctions 𝑢 et 𝑣, alors la règle de dérivation des fonctions composées nous dit que 𝑓 prime de 𝑥 est égale à 𝑣 prime de 𝑥 fois 𝑢 prime de 𝑣 de 𝑥. Écrivons donc la fonction 𝑓 de 𝑥 sous cette forme.

La fonction à l’intérieur est la fonction linéaire deux 𝑥 moins un. Nous allons donc définir 𝑣 de 𝑥 égale deux 𝑥 moins un. Avec cela, nous avons 𝑓 de 𝑥 égale deux fois racine carrée de 𝑣 de 𝑥. Nous voyons que nous prenons la racine carrée de 𝑣 de 𝑥 puis que nous la multiplions par deux. Ainsi, pour écrire 𝑓 de 𝑥 comme la composée de 𝑢 et 𝑣, il faut que de 𝑢 de 𝑣 de 𝑥 soit égal à deux fois racine carrée de 𝑣. Autrement dit, pour ces fonctions, 𝑢 et 𝑣, nous avons que 𝑓 de 𝑥 est égal à 𝑢 de 𝑣 de 𝑥, qui vaut deux fois racine carrée de deux 𝑥 moins un. Nous pouvons donc maintenant appliquer la règle de dérivation des fonctions composées pour déterminer 𝑓 prime de 𝑥.

Pour utiliser cette règle, nous devons calculer 𝑣 prime et 𝑢 prime. Commençons par calculer 𝑣 prime de 𝑥. Soit la dérivée de deux 𝑥 moins un par rapport à 𝑥. Bien sûr, il s’agit d’une fonction linéaire, donc sa pente est égale au coefficient de 𝑥, qui est deux. Nous aurions pu également calculer cette dérivée en utilisant la propriété de dérivation des puissances. Déterminons maintenant l’expression de 𝑢 prime de 𝑣. Soit la dérivée de deux fois racine carrée de 𝑣 par rapport à 𝑣. Nous pouvons faire cela en utilisant les propriétés des puissances. Nous savons que deux racine de 𝑣 est égale à deux fois 𝑣 puissance un demi.

Nous pouvons ensuite dériver cela en utilisant la propriété de dérivation des puissances. Nous multiplions par la puissance de 𝑣, soit un demi, puis nous réduisons la puissance de un. Cela nous donne un demi fois deux fois 𝑣 puissance un demi moins un. Nous pouvons simplifier cette expression. Un demi fois deux est égal à un et un demi moins un est égal à moins un demi. Ainsi, cela nous donne que 𝑢 prime de 𝑣 est égal à 𝑣 puissance moins un demi. En utilisant les propriétés des puissances, nous pouvons écrire cela comme un divisé par la racine carrée de 𝑣. Nous avons donc maintenant trouvé des expressions pour 𝑣 prime de 𝑥 et 𝑢 prime de 𝑣. Nous sommes donc prêts à utiliser la règle de dérivation des fonctions composées pour calculer 𝑓 prime de 𝑥.

Cette règle nous dit que 𝑓 prime de 𝑥 est égale à 𝑣 prime de 𝑥 fois 𝑢 prime de 𝑣 de 𝑥. Nous avons montré que 𝑣 prime de 𝑥 est égal à deux. Aussi, nous avons montré que 𝑢 prime de 𝑣 est égal à un divisé par la racine carrée de 𝑣. Enfin, nous voulons remplacer 𝑣 par deux 𝑥 moins un. Cela nous donne que 𝑓 prime de 𝑥 est égal à deux fois un divisé par racine carrée de deux 𝑥 moins un, que nous pouvons simplifier en deux divisé par racine carrée de deux 𝑥 moins un. Nous avons donc montré que si 𝑓 de 𝑥 est égal à deux fois racine carrée de deux 𝑥 moins un, alors 𝑓 prime de 𝑥 est égal à deux divisé par racine carrée de deux 𝑥 moins un.