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Vidéo question :: Déterminer les racines 𝑛-ièmes de l’unité Mathématiques • Troisième année secondaire

Déterminez les racines neuvièmes de l'unité.

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Déterminez les racines neuvièmes de l'unité.

Pour trouver les racines neuvièmes de l’unité, nous essayons de déterminer toutes les valeurs de 𝑧 telles que 𝑧 puissance neuf est égal à un. Et nous savons qu’une formule permettant de calculer les racines 𝑛-ièmes de l’unité est cosinus de deux 𝜋𝑘 sur 𝑛 plus 𝑖 sinus de deux 𝜋𝑘 sur 𝑛 qui est égal à 𝑒 puissance deux 𝜋𝑘 sur 𝑛 fois 𝑖, pour des valeurs 𝑘 entre zéro et 𝑛 moins un. Puisque nous avons affaire à la racine neuvième, 𝑛 est ici égal à neuf. Et pour trouver les racines neuvièmes de l’unité, nous allons commencer par 𝑘 égale zéro. Le premier terme devient cos de zéro plus 𝑖 sin de zéro, ou 𝑒 puissance zéro, ce qui fait un.

On a ensuite 𝑘 égale un. Si on remplace 𝑘 par un et 𝑛 par neuf, on peut simplifier cet argument par deux sur neuf 𝜋, ce qui nous donne 𝑒 puissance deux sur neuf 𝜋𝑖. Maintenant, pour 𝑘 égale deux, on obtient quatre sur neuf 𝜋, ce qui donne 𝑒 puissance quatre sur neuf 𝜋𝑖. Pour 𝑘 égal à trois, l’argument est six sur neuf 𝜋, que l’on peut simplifier par deux sur trois 𝜋 et qui donne 𝑒 puissance deux sur trois 𝜋𝑖. On a ensuite 𝑘 égale quatre. Lorsque l’on remplace 𝑘 par quatre et 𝑛 par neuf, on obtient huit sur neuf 𝜋, ce qui nous donne 𝑒 puissance huit sur neuf 𝜋 𝑖.

Et lorsque 𝑘 égale cinq, on obtient cos de dix sur neuf 𝜋 plus 𝑖 sin de dix sur neuf 𝜋. Le problème ici est que le dix sur neuf 𝜋 est en dehors de l’intervalle de la mesure principale de l’argument. On préfère généralement que la mesure de l’argument soit supérieure à moins 𝜋 et inférieure ou égale à 𝜋. Cela signifie que l’on doit soustraire deux 𝜋, que l’on peut reformuler par 18 sur neuf 𝜋, à dix sur neuf 𝜋. En effectuant cette soustraction, on obtient un résultat de moins huit sur neuf 𝜋. On peut ensuite remplacer les dix sur neuf 𝜋 par cette valeur, ce qui donne 𝑒 puissance moins huit sur neuf 𝜋𝑖.

Remarquez le modèle intéressant ici. La quatrième racine était 𝑒 puissance huit sur neuf 𝜋𝑖, tandis que la cinquième racine est 𝑒 puissance moins huit sur neuf 𝜋𝑖. En continuant, on a 𝑘 égale six. Et l’argument est de douze sur neuf 𝜋, ce qui se simplifie par quatre sur trois 𝜋. Mais encore une fois, cela sort de l’intervalle de la mesure principale, ce qui signifie que l’on doit soustraire deux 𝜋 à quatre sur trois 𝜋. On obtient alors moins deux sur trois 𝜋, ce qui donne 𝑒 puissance moins deux sur trois 𝜋𝑖.

Et on rencontre à nouveau ce modèle : 𝑘 égale trois nous a donné 𝑒 puissance plus deux sur trois 𝜋𝑖, et 𝑘 égale six nous a donné 𝑒 puissance moins deux sur trois 𝜋𝑖. En utilisant ce modèle pour 𝑘 égale sept, on peut donc s’attendre à ce que la racine soit égale à 𝑒 puissance moins quatre 𝜋 sur neuf 𝑖. Si on remplace 𝑘 par sept, on obtient 14 sur neuf 𝜋. Et en soustrayant deux 𝜋, on a bien moins quatre sur neuf 𝜋. On peut enfin utiliser ce modèle pour 𝑘 égale huit. Lorsque 𝑘 est égal à huit, la racine est 𝑒 puissance moins deux sur neuf 𝜋𝑖. Nous pouvons à présent lister ces racines dans l’ordre, en commençant par 𝑘 égale zéro, ce qui nous donne cette liste ici.

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