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Vidéo de la leçon : Applications sur les systèmes d’inéquations Mathématiques

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à résoudre des systèmes d'inéquations en traduisant chaque condition en une inéquation.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à résoudre des systèmes d'inéquations en traduisant chaque condition en une inéquation. Un système d’inéquations linéaires est un ensemble de deux ou plusieurs inéquations linéaires à plusieurs inconnues. Celles-ci sont souvent utilisées lorsqu’un problème nécessite un intervalle de solutions et qu’il existe plus d’une contrainte sur les solutions, par exemple, un magasin essayant d’acheter du stock avec un budget donné. Commençons par examiner plus en détail comment nous pouvons les représenter.

Par exemple, si nous avons le système d’inéquations 𝑥 est supérieur ou égal à deux, 𝑦 est supérieur ou égal à quatre et deux 𝑥 plus trois 𝑦 est inférieur ou égal à 24, nous pouvons représenter cela dans un repère à deux dimensions. L’équation 𝑥 égale deux peut être représentée par une droite verticale passant par deux sur l’axe des abscisses. Comme l’inéquation donnée est 𝑥 est supérieur ou égal à deux, la région qui nous intéresse est à droite de cette droite. Nous pouvons donc hachurer tout ce qui se trouve à gauche de cette droite.

Il est important de noter que si nous avions une inéquation stricte, telle que 𝑥 est strictement supérieur à deux, cela serait représenté par une droite pointillée. L’équation 𝑦 égale quatre est représentée par une droite horizontale passant par quatre sur l’axe des ordonnées. Comme l’inéquation était 𝑦 est supérieur ou égal à quatre, la région requise est au-dessus de cette droite. Et encore une fois, nous pouvons hachurer la région en-dessous. Enfin, nous devons tracer la droite d’équation deux 𝑥 plus trois 𝑦 est égal à 24. Elle coupe l’axe des ordonnées lorsque 𝑥 est égal à zéro, et cela se produit lorsque 𝑦 est égal à huit. De même, la droite coupe l’axe des abscisses lorsque 𝑦 est égal à zéro, et cela se produit lorsque 𝑥 est égal à 12. L’équation deux 𝑥 plus trois 𝑦 est égal à 24 peut être représentée sur le graphique comme indiqué.

Pour déterminer le côté de cette droite dont nous avons besoin, nous pouvons réorganiser notre inéquation pour faire de 𝑦 le membre de gauche. Tout d’abord, nous pouvons soustraire deux 𝑥 des deux membres. Nous pouvons alors diviser par trois de sorte que 𝑦 est inférieur ou égal à moins deux tiers de 𝑥 plus huit. Comme 𝑦 est inférieur ou égal à moins deux tiers 𝑥 plus huit, la région requise est en dessous de la droite. Nous pouvons donc hachurer la région située au-dessus de cette droite. Il nous reste une région triangulaire qui satisfait le système des inéquations.

Encore une fois, il est important de noter que nous n’incluons les valeurs aux bords des régions que s’il y a une droite continue délimitant chacune de ces régions. En effet, toutes les inéquations doivent être satisfaites et une inéquation stricte exclut les bords de l’ensemble de solutions.

Nous allons maintenant considérer quelques exemples où nous obtenons un système d’inéquations à partir d’un problème écrit.

Un berger veut construire une étable rectangulaire. La longueur de l’étable doit être supérieure à 88 mètres et son périmètre doit être inférieur à 253 mètres. Déterminez le système d’inéquations qui décrit la situation, en désignant la longueur de l’étable par 𝑥 et sa largeur par 𝑦.

Dans cette question, on nous dit qu’un berger veut construire une étable rectangulaire de longueur 𝑥 mètres et de largeur 𝑦 mètres. Nous devons définir un système d’inéquations qui remplissent les conditions données. On nous dit que la longueur de l’étable doit être supérieure à 88 mètres. Par conséquent, 𝑥 doit être strictement supérieur à 88. Puisque la largeur de l’étable ne peut pas être une valeur négative, nous avons 𝑦 supérieur ou égal à zéro.

On nous dit également que le périmètre de l’étable doit être inférieur à 253 mètres. En rappelant que le périmètre de toute forme bidimensionnelle est la distance du contour extérieur, alors celui-ci est égal à 𝑥 plus 𝑦 plus 𝑥 plus 𝑦. Cela se simplifie par deux 𝑥 plus deux 𝑦. Et en factorisant par deux, nous avons le périmètre de l’étable égal à deux multiplié par 𝑥 plus 𝑦. Ce périmètre doit être inférieur à 253 mètres. Par conséquent, deux multiplié par 𝑥 plus 𝑦 est strictement inférieur à 253. Nous avons maintenant un système de trois inéquations qui décrivent la situation. La longueur 𝑥 doit être strictement supérieure à 88. La largeur 𝑦 doit être supérieure ou égale à zéro. Et deux fois 𝑥 plus 𝑦 est strictement inférieur à 253.

Bien que cela ne soit pas requis dans cette question ou dans cette vidéo, nous pouvons représenter cela graphiquement. Nous pouvons tracer une droite continue en 𝑦 égale zéro et des droites en pointillés en 𝑥 égale 88 et deux fois 𝑥 plus 𝑦 égale 253. Comme 𝑥 est supérieur à 88, nous pouvons hachurer la région à gauche de celle-ci, car nous avons besoin de la région à droite. Comme 𝑦 est supérieur ou égal à zéro, la région requise est au-dessus de l’axe des abscisses. Et enfin, comme deux multiplié par 𝑥 plus 𝑦 est inférieur à 253, nous avons besoin de la région en dessous de cette droite. Cela nous donne une région triangulaire qui satisfait les trois inéquations.

Considérons maintenant un autre exemple dans ce contexte.

Un menuisier veut acheter deux types de clous. Le premier type coûte six livres par kilogramme, et le deuxième type coûte neuf livres par kilogramme. Il lui faut au moins cinq kilogrammes du premier type et au moins sept kilogrammes du second. Il peut dépenser moins de 55 livres. En utilisant 𝑥 pour représenter la quantité du premier type et 𝑦 pour représenter le deuxième type, déterminez le système d’inéquations qui représente cette situation.

Dans cette question, nous devons établir le système d’inéquations qui remplissent les conditions pour un menuisier qui veut acheter deux types de clous. Nous allons poser 𝑥 la quantité du premier type et 𝑦 la quantité du deuxième type. Ce sera la quantité de clous en kilogrammes. Puisqu’il a besoin d’au moins cinq kilogrammes du premier type, nous savons que 𝑥 est supérieur ou égal à cinq. Il a également besoin d’au moins sept kilogrammes du deuxième type, donc 𝑦 est supérieur ou égal à sept.

L’autre contrainte ici est le coût. On nous dit que le premier type coûte six livres par kilogramme. Cela équivaut à six 𝑥. Le deuxième type de clous coûte neuf livres par kilogramme, ce qui équivaut à neuf 𝑦. Comme le montant total qu’il peut dépenser doit être inférieur à 55 livres, nous savons que leur somme doit être inférieure à 55 livres. Le système d’inéquations qui représente la situation est 𝑥 est supérieur ou égal à cinq, 𝑦 est supérieur ou égal à sept, et six 𝑥 plus neuf 𝑦 est inférieur à 55.

Dans nos deux prochaines questions, nous examinerons des problèmes plus compliqués où il y a plus de contraintes.

Un enseignant a donné à ses élèves 100 minutes pour résoudre un test qui comporte deux sections : la section A et la section B. Les élèves devaient répondre à au moins quatre questions de la section A et à au moins six questions de la section B et répondre à au moins 11 questions au total. Si une fille a répondu à chaque question de la section A en trois minutes et à chaque question de la section B en six minutes, déterminez le système d’inéquations qui aiderait à connaitre le nombre de questions auxquelles elle a essayé de répondre dans chaque section. Utilisez 𝑥 pour représenter le nombre de questions répondues à la section A et 𝑦 pour représenter le nombre à la section B.

On nous dit qu’un test comporte deux sections A et B. Et nous allons poser 𝑥 le nombre de questions répondues à la section A et 𝑦 le nombre de questions répondues à la section B. On nous dit qu’un étudiant doit répondre à au moins quatre questions de la section A. Par conséquent, 𝑥 doit être supérieur ou égal à quatre. Ils doivent également répondre à au moins six questions de la section B. Donc 𝑦 doit être supérieur ou égal à six. Comme tout étudiant doit également répondre à au moins 11 questions au total, 𝑥 plus 𝑦 doit être supérieur ou égal à 11.

Il y a également une contrainte de temps de 100 minutes. Et on nous dit qu’une fille a répondu à chaque question de la section A en trois minutes. Elle a également répondu à chaque question de la section B en six minutes. Cela signifie que le temps total qu’elle a passé à répondre aux questions peut s’écrire comme l’expression trois 𝑥 plus six 𝑦. Et comme le temps total pour le test était de 100 minutes, cela doit être inférieur ou égal à 100. Le système d’inéquations qui aiderait à connaitre à combien de questions la fille a essayé de répondre dans chaque section est 𝑥 est supérieur ou égal à quatre, 𝑦 est supérieur ou égal à six, 𝑥 plus 𝑦 est supérieur ou égal à 11 et trois 𝑥 plus six 𝑦 est inférieur ou égal à 100.

Nous allons maintenant examiner une dernière question dans cette vidéo.

Une usine d’aliments pour bébés produit deux types d’aliments pour bébés. Le premier type contient deux unités de vitamine A et trois unités de vitamine B par gramme. Le deuxième type contient trois unités de vitamine A et deux unités de vitamine B par gramme. Si un bébé a besoin d’au moins 100 unités de vitamine A et 120 unités de vitamine B par jour, déterminez le système d’inéquations qui décrit les aliments que le bébé doit manger chaque jour pour répondre à ces exigences. Utilisez 𝑥 pour représenter la masse du premier type d’aliment pour bébé en grammes et 𝑦 pour représenter la masse du deuxième type d’aliment pour bébé en grammes.

Dans cette question, on nous dit qu’une usine produit deux types d’aliments pour bébés. Nous allons poser 𝑥 la masse du premier type d’aliment pour bébé et 𝑦 la masse du deuxième type. Comme ce sont des masses données en grammes, nous savons que 𝑥 et 𝑦 doivent être non négatives. Par conséquent, 𝑥 est supérieur ou égal à zéro, et 𝑦 est supérieur ou égal à zéro. Nous savons que le premier type d’aliment pour bébé contient deux unités de vitamine A par gramme et le deuxième type contient trois unités de vitamine A par gramme. Comme on nous dit également qu’un bébé a besoin d’au moins 100 unités de vitamine A par jour, nous savons que deux 𝑥 plus trois 𝑦 doit être supérieur ou égal à 100.

Nous pouvons trouver une inéquation similaire pour la vitamine B. Le premier type d’aliment pour bébé contient trois unités, et le deuxième type contient deux unités. Comme un bébé a besoin de 120 unités de vitamine B par jour, nous avons trois 𝑥 plus deux 𝑦 est supérieur ou égal à 120. Nous pouvons donc conclure que nous avons un système de quatre inéquations qui décrit la nourriture qu’un bébé doit manger chaque jour. 𝑥 est supérieur ou égal à zéro, 𝑦 est supérieur ou égal à zéro, deux 𝑥 plus trois 𝑦 est supérieur ou égal à 100 et trois 𝑥 plus deux 𝑦 est supérieur ou égal à 120.

Nous allons maintenant résumer les points clés de cette vidéo. Dans une situation donnée, afin de déterminer le système des inéquations, nous devons nommer chacune des quantités 𝑥 ou 𝑦. Si les quantités sont des valeurs qui ne peuvent jamais être négatives, alors nous commençons toujours par 𝑥 est supérieur ou égal à zéro et 𝑦 est supérieur ou égal à zéro. On peut également nous donner d’autres contraintes pour les quantités, telles qu’une valeur minimale ou maximale pour chacune. Par exemple, 𝑥 est supérieur ou égal à 10 ou 𝑦 est inférieur ou égal à 15. Ces inéquations peuvent également être des inéquations strictes, telles que 𝑥 est strictement supérieur à 10 et 𝑦 est strictement inférieur à 15.

Des inéquations linéaires supplémentaires peuvent être obtenues à partir des contraintes données pour le total des quantités, telles que le temps et le coût. Celles-ci peuvent être écrites sous la forme deux 𝑥 plus trois 𝑦 est supérieur ou égal à 15. Nous pouvons représenter graphiquement l’un de ces systèmes d’inéquations. Et bien que cela n’entre pas dans le cadre de cette vidéo, nous pourrions également les résoudre pour trouver des solutions optimales.

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