Transcription de la vidéo
Dans cette vidéo, notre sujet est la cinématique de rotation. Autrement dit, nous allons apprendre à décrire le mouvement des objets lors de leur rotation. Maintenant, avant de parler de mouvement de rotation, rappelons le type de mouvement que nous connaissons peut-être, le mouvement en ligne ou le mouvement linéaire. Si nous avons un objet qui commençait dans cette position et se déplaçait ensuite le long de cette flèche d’un mètre de long jusqu’à ce qu’il s’arrête ici, nous pouvons dire que cet objet s’est déplacé d’une distance linéaire d’un mètre. Et nous pourrions même y penser comme à une unité de base de la distance linéaire.
Il n’y a rien d’officiel ou de formel concernant une distance d’un mètre. Mais si nous considérons cela comme l’unité de base de la distance linéaire, alors on peut se poser la question: quelle est l’unité de base de la distance angulaire? Nous pouvons comprendre cela en imaginant une droite inscrite dans un cercle qui tourne selon un angle. Cet angle, que nous pouvons appeler 𝜃, est défini de sorte que la longueur de notre segment, que nous pouvons appeler 𝑟, est égale à la longueur de l’arc du cercle que ce segment parcourt lorsqu’il tourne. Si ces deux distances sont identiques, alors on peut dire que l’angle 𝜃 selon lequel notre segment a tourné est égal à un radian ou simplement un rad pour faire court.
En définissant ce terme, un angle d’un radian, nous avons trouvé ce que nous pouvons appeler une unité de base de la distance angulaire ou rotationnelle. Tout comme un mètre est une unité de base de la distance linéaire, les radians sont les unités que nous utilisons pour quantifier une distance angulaire. Et nous pouvons aussi appeler cela une distance rotationnelle. Maintenant, qu’en est-il d’une distance angulaire qui fait tout le tour de ce cercle, un tour complet? Combien de radians serait-ce? Un tour complet est représenté par deux fois 𝜋 radians. Nous pouvons le confirmer en rappelant que la circonférence d’un cercle est égale à deux fois 𝜋 fois le rayon du cercle.
Si nous considérons une rotation autour d’un cercle unitaire, cela signifie que 𝑟 est égal à un. Et donc la circonférence du cercle est égale à deux 𝜋, ce qui correspond à la distance de rotation d’un tour complet. Vu qu’elle est basée sur la géométrie d’un cercle, l’unité radians est pratique pour décrire les rotations. Mais nous connaissons peut-être une autre unité pour décrire les distances angulaires. C’est l’unité degrés symbolisée comme ça. Sachant qu’il existe deux ensembles d’unités différents pour décrire les distances angulaires, nous aimerions savoir comment convertir l’un en l’autre. Autrement dit, pour une distance angulaire donnée, disons en radians, disons d’un radian, à quoi est-ce égal, nous nous demandons, en degrés?
Et puis, par la même occasion, si nous avons une distance de rotation donnée en degrés, nous aimerions savoir à quoi ça correspond en radians? Nous pouvons commencer à comprendre la conversion des degrés en radians ou des radians en degrés ainsi. Rappelons qu’un tour complet autour d’un cercle est égal à deux 𝜋 radians. Et puis, nous pouvons rappeler en outre qu’un tour complet autour d’un cercle est aussi égale à 360 degrés. Donc, 360 degrés est égal à deux 𝜋 radians. Et maintenant, nous pouvons nous poser cette question, de quoi aurions-nous besoin pour multiplier 360 degrés pour que le résultat soit égal à deux 𝜋 radians? Autrement dit, quel facteur pourrait aller ici pour que ce facteur multiplié par 360 degrés soit égal à deux 𝜋 radians?
Eh bien, nous pouvons dire qu’une chose qui doit se produire est que les 360 degrés doivent être annulés. Donc, si nous mettons 360 degrés ici au dénominateur, cela fera l’affaire. Et puis, puisque nous voulons que notre réponse soit deux 𝜋 radians, nous pouvons mettre cela au numérateur. Maintenant que nous avons notre facteur de multiplication, testons cette équation et voyons si elle est vraie. Nous pouvons voir que ces 360 degrés s’annuleront avec ces 360 degrés. Et ce qui restera, ce sont deux 𝜋 radians, ce qui correspond au côté droit de notre équation. Cela signifie que nous avons développé un facteur de conversion pour prendre une distance angulaire en degrés et la convertir en radians.
Et notez que nous pouvons simplifier un peu ce facteur. La moitié de notre numérateur de deux 𝜋 radians est simplement 𝜋 radians. Et la moitié de notre dénominateur est de 180 degrés. Donc, nous pouvons aussi écrire notre facteur comme ceci. Maintenant que nous avons découvert cette méthode de conversion, nous pouvons multiplier un degré par ce facteur. Et nous voyons que cela donne un résultat de 𝜋 divisé par 180 radians. Voilà donc comment nous passons de degrés en radians. Maintenant, qu’en est-il dans le sens inverse? Nous pouvons commencer une fois de plus en considérant cette relation ici.
Maintenant, la question que nous allons poser est la suivante: par quoi devons-nous multiplier deux 𝜋 radians afin que ce produit soit égal à 360 degrés? Tout comme avant, nous allons essayer de déterminer quel facteur va ici pour que cette équation continue à être vraie. Afin de se retrouver avec 360 degrés, nous devrons en quelque sorte annuler ce facteur de deux 𝜋 radian. Nous pouvons le faire en divisant par deux 𝜋 radians. Et cela signifie que nous devrons avoir 360 degrés au numérateur de notre facteur. C’est donc un moyen de convertir des angles en radians en angles en degrés. Et comme précédemment, nous pouvons simplifier un peu ce facteur en divisant le numérateur et le dénominateur par deux. Cela nous donne 180 degrés divisés par 𝜋 radians.
Donc, pour déterminer à combien de degrés un radian est égal, nous allons multiplier un radian par 180 degrés divisé par 𝜋 radians. Et nous nous retrouvons avec un résultat de 180 divisé par 𝜋 degrés. Sachant cela à propos des conversions d’angles, nous pouvons écrire quelques équations sommaires. Tout d’abord, disons que nous avons un angle, nous l’appellerons 𝐴, qui est mesuré en degrés. Nous aurons donc 𝐴 puis le symbole des degrés en indice. Nous avons vu que si nous multiplions cet angle en degrés par le facteur 𝜋 radians divisé par 180 degrés, le résultat est le même angle 𝐴 mais exprimé en une unité différente, en radians.
De même, disons que nous avons un angle, nous l’appellerons 𝐵, mais celui-ci est exprimé en unités de radians. Si nous multiplions cet angle en radians par 180 degrés divisé par 𝜋 radians, alors nous nous retrouvons avec le même angle, mais cette fois exprimé en degrés. Ce sont alors les facteurs de conversion entre ces deux ensembles d’unités. Jusqu’à présent, nous n’avons parlé que des distances angulaires. Mais il s’avère que tout comme il existe des vitesses et des accélérations linéaires, il y a aussi des vitesses et des accélérations angulaires.
Ainsi, nous savons que si nous parlons de vitesses linéaires, alors pour une certaine vitesse, nous pouvons l’appeler 𝑠, cette vitesse est égale à une variation de distance, nous pouvons l’appeler Δ𝑑, divisée par une variation de temps, Δ𝑡. Alors, si nous voulions écrire une vitesse angulaire, comment cette équation devrait-elle changer? D’une part, nous ne parlons plus de vitesse linéaire 𝑠. Nous aurions donc besoin d’une autre variable pour représenter une vitesse angulaire. Le symbole généralement utilisé pour cela est la lettre grecque 𝜔. Et donc, à quoi 𝜔 est égale? Dans notre équation pour la vitesse linéaire, nous avons une variation de distance linéaire divisée par une variation de temps.
Afin de créer une version rotationnelle de cette équation, tout ce que nous devons faire est de changer cette distance linéaire en une distance angulaire. Et nous avons vu que les distances angulaires sont décrites en utilisant la variable 𝜃, où 𝜃 peut représenter n’importe quelle distance angulaire, pas seulement un radian tel que nous l’avons défini dans ce cas particulier. Donc, au lieu d’utiliser Δ𝑑, dans le numérateur de notre équation pour la vitesse angulaire, nous utiliserons Δ𝜃. Cela représente une variation de la distance angulaire. Et puis, au dénominateur, nous aurons encore une fois Δ𝑡. Une variation de temps reste la même, que nous parlions de mouvement linéaire ou angulaire.
Alors réfléchissons un peu à ce que signifie cette équation pour la vitesse angulaire. Elle décrit un angle, une distance angulaire, qui évolue sur une certaine période de temps. Nous pourrions l’imaginer comme si le segment sur notre figure tourne à un certain rythme autour de ce cercle. Ce rythme de rotation est sa vitesse de rotation, parfois aussi appelée vitesse angulaire. Ce bras pourrait tourner plus ou moins vite. Et cela correspondra à des vitesses angulaires supérieures ou inférieures. Et puis, voici quelque chose d’intéressant. Quand la vitesse linéaire d’un objet change dans le temps, nous pouvons dire que cet objet accélère. De la même manière, nous pouvons dire que si la vitesse angulaire d’un objet change dans le temps, cet objet a une accélération angulaire.
Nous pourrions imaginer l’accélération angulaire comme ce bras lorsqu’il tourne autour du cercle, qu’il accélère ou ralentisse. S’il fait l’un ou l’autre, il aura une accélération angulaire non nulle. Nous savons que le symbole généralement utilisé pour l’accélération linéaire est un 𝑎 minuscule. Le symbole utilisé pour représenter l’accélération angulaire ressemble à ceci. C’est la lettre grecque 𝛼. L’accélération rotationnelle ou angulaire est égale à une variation de la vitesse de rotation, Δ𝜔, divisée par la durée pendant laquelle cette variation se produit.
Maintenant, avant de passer à un exemple, nous devons nous rappeler de cette équation pour la vitesse angulaire. La façon standard d’exprimer la distance angulaire dont un objet se déplace est d’utiliser l’unité radian comme nous l’avons vu. Parfois, cependant, dans les exercices, les vitesses de rotations sont décrites dans une unité différente appelée tours par minute. Un tour est une rotation complète autour d’un cercle. Et nous avons vu qu’en ce qui concerne notre angle 𝜃, cela est décrit par la rotation de deux 𝜋 radians. Donc, un tour est égale à deux 𝜋 radians. Et c’est cette façon d’exprimer les distances angulaire que nous utilisons dans notre équation pour la vitesse angulaire.
Si nous oublions d’utiliser des radians et utilisons à la place des tours, ce qui peut être facile à faire si notre rythme de rotation est donné en tr/min, alors le résultat pour la vitesse angulaire sera divisé par un facteur de deux 𝜋. Ainsi, chaque fois que nous utilisons cette équation pour la vitesse angulaire, nous voulons nous assurer que notre Δ𝜃, notre variation de distance angulaire, est exprimé en radians. Ceci étant dit, regardons maintenant un exemple d’exercice.
Un déplacement angulaire de espace vide degrés est égal à un déplacement angulaire de 7,25 radians.
Dans cet exercice, nous voulons remplir ce vide. En d’autres termes, nous voulons savoir combien de degrés 7,25 radians représentent. Pour convertir cet angle en radians en un angle équivalent en degrés, nous pouvons rappeler qu’un tour complet autour d’un cercle est égale à deux 𝜋 radians. Et c’est aussi égal à 360 degrés. Dans cet exercice, au lieu d’avoir deux 𝜋 radians, notre angle en radians est de 7,25. Donc, sachant que cela est vrai, nous voulons convertir cette valeur en degrés.
Pour voir comment faire cela, nous pouvons déterminer quel facteur ira ici pour que le côté gauche de cette équation soit égal à 360 degrés comme nous le savons. Autrement dit, nous voulons deux fois 𝜋 radians fois ce qui est ici égal à 360 degrés. Nous pouvons voir que si nous mettons ce facteur entre parenthèses, alors les deux 𝜋 radians s’annuleront et nous resterons des deux côtés avec 360 degrés. Cela nous indique que nous avons découvert le facteur par lequel nous pouvons multiplier une mesure angulaire en radians pour la convertir en degrés. C’est 360 degrés divisés par deux 𝜋 radians ou, de manière équivalente, 180 degrés divisés par 𝜋 radians.
Alors, c’est ce que nous allons multiplier par 7,25 radians. Et quand nous le faisons, notez que les unités de radians s’annulent. Et il nous restera une mesure d’angle en degrés. Cela équivaut à 415,39 trois petits points degrés. Mais comme notre angle initial nous est donné avec trois chiffres significatifs, nous en garderons autant dans notre réponse. C’est-à-dire que nous conserverons ce chiffre significatif, celui-ci et celui-ci, ce qui signifie que notre réponse finale est de 415 degrés. On peut donc dire qu’un déplacement angulaire de 415 degrés est égal à un déplacement angulaire de 7,25 radians.
Voyons maintenant un deuxième exemple.
Un foret est initialement au repos. Lorsque la perceuse est activée, le foret fait 47,5 tours par seconde. Le foret atteint cette vitesse sur une durée de 175 millisecondes. Quelle est l’accélération angulaire du foret?
D’accord, disons que c’est une vue de bout de notre foret. On peut donc dire que la pointe est dirigée hors de l’écran vers nous. Au départ, le foret est au repos. Mais alors, lorsque la perceuse est activée, le foret commence à tourner, 47 fois et demi par seconde. Sachant que le foret atteint cette vitesse de rotation en partant d’un état au repos sur une période de 175 millisecondes, nous voulons savoir quelle est l’accélération angulaire du foret. En commençant, nous pouvons rappeler que l’accélération angulaire, 𝛼, est égale à une variation de vitesse angulaire, Δ𝜔, divisée par une variation de temps, Δ𝑡.
Une chose importante à réaliser à propos de cette équation est que cette variation de vitesse angulaire, Δ𝜔, suppose que cette vitesse angulaire est exprimée en radians par seconde. Ainsi, l’accélération angulaire que nous calculons est en radians par seconde par seconde ou en radians par seconde carrée. Il est important de s’en rendre compte car dans notre énoncé, on nous dit que notre foret tourne 47 fois et demi par seconde. C’est-à-dire qu’il fait un tour complet 47,5 fois par seconde. Mais cela ne signifie pas que notre vitesse angulaire est de 47,5 radians par seconde. C’est parce qu’une rotation complète, « une fois autour du cercle nous pourrions dire » - c’est un tour - est égale à deux 𝜋 radians.
Cela signifie donc que la vitesse angulaire réelle en radians par seconde est 47,5 fois deux 𝜋. C’est cette valeur que nous utiliserons dans notre équation pour l’accélération angulaire. Cette accélération est égale à la variation de la vitesse angulaire, Δ𝜔. Mais comme que notre foret a commencé au repos, cela signifie que cette valeur est ici égale à cette variation divisée par la durée pendant laquelle cette variation se produit. Et c’est 175 millisecondes. Avant de calculer cette fraction, nous voulons convertir cette durée de millisecondes en secondes. C’est pour que nous puissions avoir une unité de temps commune au numérateur et au dénominateur.
On peut rappeler qu’une milliseconde est égale à un millième de seconde. Et par conséquent, 175 millisecondes est égal à 0,175 seconde. Maintenant, nous sommes prêts à calculer 𝛼. Et nous obtiendrons en effet le résultat en radians par seconde carrée lorsque nous le ferons. En arrondissant notre réponse à trois chiffres significatifs, nous obtenons un résultat de 1710 radians par seconde carrée. C’est l’accélération angulaire du foret.
Résumons maintenant ce que nous avons appris sur la cinématique de rotation. Dans cette leçon, nous avons vu que, tout comme il existe des distances, des vitesses et des accélérations linéaires, il existe des distances, des vitesses et des accélérations rotationnelles ou angulaires. Le symbole représentant généralement la distance angulaire est 𝜃. Le symbole représentant la vitesse de rotation ou angulaire est 𝜔. Une accélération angulaire est symbolisée par la lettre grecque 𝛼.
Nous avons vu plus loin que les distances angulaires peuvent être exprimées en degrés ou en radians. Et nous avons vu que pour convertir d’un ensemble d’unités à l’autre, un angle en degrés peut être multiplié par le facteur 𝜋 radians sur 180 degrés, alors qu’un angle donné en radians peut être multiplié par 180 degrés divisé par 𝜋 radians. Ces facteurs de conversion sont basés sur le fait que deux 𝜋 radians sont égaux à 360 degrés. Ceci est un résumé de la cinématique de rotation.