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Vidéo de question : Déterminer le moment d’une force autour d’un point en trois dimensions Mathématiques

Sachant qu’une force d’intensité 6 N agit en le point 𝐶 comme l’indique la figure, déterminez son vecteur moment par rapport au point 𝐴 en newton-centimètres.

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Transcription de vidéo

Sachant qu’une force d’intensité 6 N agit en le point 𝐶 comme l’indique la figure, déterminez son vecteur moment par rapport au point 𝐴 en newton-centimètres.

En regardant la figure, nous pouvons voir que nous avons un vecteur force ayant pour norme six newtons qui agit sur un objet positionné dans un repère tridimensionnel. Nous pouvons voir que l’axe des 𝑥 pointe vers l’écran, que l’axe des 𝑦 pointe vers la droite et que l’axe des 𝑧 pointe vers le haut. Trois points spécifiques ont été nommés sur l’objet. Soient 𝐴, qui est le point autour duquel nous voulons trouver un vecteur moment ; 𝐵, qui est situé à l’origine de nos axes ; et 𝐶, qui est le point auquel le vecteur force agit.

La question nous a demandé de calculer le vecteur moment en 𝐴 créé par la force agissant en 𝐶. Pour calculer le vecteur moment, nous pouvons utiliser l’équation suivante. Elle nous indique qu’un vecteur moment 𝐌 est donné par le produit vectoriel d’un vecteur déplacement 𝐑 et d’un vecteur force 𝐅. Le vecteur déplacement 𝐑 est spécifiquement le vecteur déplacement du point auquel la force agit au point par rapport lequel nous calculons un moment. Dans ce cas, nous calculons les moments par rapport au point 𝐴 et la force agissant en 𝐶. Cela signifie que dans cette question, le vecteur déplacement 𝐑 que nous recherchons est le vecteur qui nous emmène de 𝐴 à 𝐶.

En utilisant la notation vectorielle, nous pouvons dire que le vecteur 𝐑 est égal au vecteur 𝐀𝐂. Nous pouvons maintenant voir à la fois les vecteurs 𝐅 et 𝐑 sur la figure. Le défi dans cette question est que, pour calculer le produit vectoriel de ces vecteurs, nous devons déterminer leurs composantes. Nous pouvons le faire en utilisant les mesures sur la figure. Commençons par trouver le vecteur déplacement 𝐑.

Nous pouvons le faire en réfléchissant à la façon dont nous passerions de 𝐴 à 𝐶. À partir de 𝐴, nous pouvons nous déplacer sur l’axe des 𝑧 positifs puis sur l’axe des 𝑦 positifs. Cela nous amènera au point 𝐶. En utilisant les mesures sur la figure, nous pouvons voir que la distance que nous devrions parcourir dans la direction 𝑧 est de 16 centimètres plus huit centimètres, ce qui nous donne 24 centimètres. Nous voyons aussi qu’il faudrait se déplacer de 16 centimètres dans la direction 𝑦.

Le vecteur déplacement 𝐑 a une composante 𝑥 de zéro centimètres, une composante 𝑦 de 16 centimètres et une composante 𝑧 de 24 centimètres. Nous pouvons écrire ceci comme zéro 𝐢 plus 16𝐣 plus 24𝐤, où 𝐢, 𝐣 et 𝐤 sont des vecteurs unitaires dans les sens des 𝑥, 𝑦 et 𝑧, respectivement. Nous noterons également à ce stade que nous mesurons ce vecteur en centimètres.

Notre prochaine étape consiste à trouver les composantes du vecteur force 𝐅. Nous pouvons voir sur la figure que la droite d’application du vecteur 𝐅 forme un angle 60 degrés avec une droite parallèle à l’axe des 𝑥 et un angle de 30 degrés avec une droite parallèle à l’axe des 𝑧. Nous pouvons donc conclure que le vecteur 𝐅 se situe dans le plan 𝑥𝑧 et est donc perpendiculaire à l’axe 𝑦. Cela signifie que la composante 𝑦 du vecteur force est zéro.

Si nous imaginons maintenant regarder ce vecteur sous un angle différent, soit dans le sens des 𝑦 négatifs, nous verrions quelque chose comme la figure ici, où ceci est la composante 𝑧 du vecteur force, que nous pourrions appeler 𝐅 indice 𝑧, et ceci est la composante 𝑥 du vecteur force 𝐅 indice 𝑥. Puisque le vecteur 𝐅 et ses deux composantes 𝐅 indice 𝑧 et 𝐅 indice 𝑥 forment un triangle rectangle, nous pouvons utiliser la trigonométrie pour calculer les grandeurs des deux composantes.

La norme du vecteur 𝐅 est de six newtons. Ainsi, nous pouvons poser la longueur de l’hypoténuse du triangle comme étant six. Cela signifie que la composante 𝑧 vaut six sinus 60 degrés et que la composante 𝑥 est de six cosinus 60 degrés. Il est important de noter que ce ne sont que les valeurs des composantes. Puisque 𝐅 indice 𝑧 pointe dans le sens des 𝑧 négatifs, cela signifie que la composante 𝑧 de 𝐅 est moins six sinus 60 𝐤. Puisque 𝐅 indice 𝑥 pointe dans le sens des 𝑥 positifs, la composante 𝑥 de 𝐅 est six cosinus 60 𝐢. Nous savons que sinus de 60 degrés est égal à racine de trois sur deux et que cosinus de 60 degrés vaut un demi. Cela signifie que les composantes 𝑧 et 𝑥 se simplifient en moins trois racine de trois 𝐤 et trois 𝐢, respectivement.

En rappelant que la composante 𝑦 est égale à zéro, nous avons 𝐅 est égal à trois 𝐢 plus zéro 𝐣 moins trois racine de trois 𝐤. Cette fois, nous notons que ce vecteur est mesuré en newtons. Nous sommes maintenant en mesure de calculer le produit vectoriel des deux vecteurs. Le produit vectoriel de 𝐑 et 𝐅 est donné par le déterminant de cette matrice trois trois, où les éléments de la rangée supérieure sont les facteurs unitaires, 𝐢, 𝐣 et 𝐤. Les éléments de la rangée du milieu sont les composantes 𝑥, 𝑦 et 𝑧 du vecteur déplacement 𝐑 écrit sans vecteurs unitaires. Enfin, les éléments de la rangée du bas sont les composantes du vecteur 𝐅, également écrit sans vecteurs unitaires.

Il est important de noter que l’ordre dans lequel ces vecteurs sont écrits affecte leur position dans la matrice, ce qui affecte le résultat que nous obtenons. En d’autres termes, le produit vectoriel de 𝐑 et 𝐅 n’est pas égal au produit vectoriel de 𝐅 et 𝐑. Cela signifie que nous devons faire attention à garder le bon ordre lorsque nous calculons le produit vectoriel. Puisque nous avons calculé toutes les composantes de 𝐑 et 𝐅, nous pouvons maintenant les saisir dans la matrice. La composante 𝑥 de 𝐑 est zéro, la composante 𝑦 est 16 et la composante 𝑧 est 24. Pour le vecteur 𝐅, la composante 𝑥 est trois, la composante 𝑦 est zéro et la composante 𝑧 est moins trois racine de trois.

Le déterminant de toute matrice trois trois se trouve en trois parties. Premièrement, nous avons le vecteur unitaire 𝐢 multiplié par 16 multiplié par moins trois racine trois moins 24 multiplié par zéro. L’expression entre parenthèses se simplifie en moins 48 racine de trois moins zéro. Le premier terme est donc moins 48 racine de trois 𝐢.

Ensuite, nous soustrayons le vecteur unitaire 𝐣 multiplié par zéro multiplié par moins trois racine de trois moins 24 multiplié par trois. Cette fois, notre parenthèse se simplifie en zéro moins 72. Comme cela est égal à moins 72, notre deuxième terme devient plus 72𝐣. Enfin, nous avons le vecteur unitaire 𝐤 multiplié par zéro multiplié par zéro moins 16 multiplié par trois. L’expression entre parenthèses est égale à moins 48. Ainsi, le troisième terme de notre vecteur est moins 48𝐤.

Nous avons maintenant la réponse finale à la question. Le vecteur moment de la force agissant en 𝐶 autour du point 𝐴 est moins 48 racine trois 𝐢 plus 72𝐣 moins 48𝐤. Dans ce cas, puisque le vecteur déplacement a été mesuré en centimètres et que le vecteur force a été mesuré en newtons, le vecteur moment est mesuré en newton-centimètres.

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