Vidéo question :: Déterminer l’ensemble image d’une fonction sinus | Nagwa Vidéo question :: Déterminer l’ensemble image d’une fonction sinus | Nagwa

Vidéo question :: Déterminer l’ensemble image d’une fonction sinus Mathématiques • Première année secondaire

L’ensemble image de la fonction 𝑓 (𝜃) = 𝑎 sin (2𝜃) est [−5, 5]. Déterminez la valeur de 𝑎, où 𝑎 > 0.

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Transcription de la vidéo

L’ensemble image de la fonction 𝑓 de 𝜃 est égal à 𝑎 sinus de deux 𝜃 est l’intervalle fermé moins cinq ; cinq. Déterminez la valeur de 𝑎, où 𝑎 est strictement supérieur à zéro.

On nous a donc donné l’ensemble image de cette fonction 𝑓 de 𝜃 et on nous demande d'utiliser cette information pour déterminer la valeur de l'inconnue 𝑎. Rappelons que la fonction sinus est périodique de période deux 𝜋 et que son graphe oscille entre moins un et un. Autrement dit, l’ensemble image de la fonction sinus est l'intervalle fermé moins un ; un.

Seulement, il ne s'agit pas seulement d'une fonction sinus dans cette question. Nous travaillons avec une transformation de celle-ci. 𝑓 de 𝜃 est égal à 𝑎 fois sinus deux 𝜃. Deux transformations ont été effectuées. Premièrement, la variable 𝜃 a été remplacée par deux 𝜃. Cela correspond à une dilatation horizontale de la fonction avec un facteur d'échelle de un demi. Puisque cette transformation a un effet horizontal, elle n'a aucun effet sur l’ensemble image de la fonction.

La deuxième transformation appliquée est la multiplication de la fonction par la constante 𝑎. Cette transformation correspond à une dilatation verticale de la fonction par un facteur d'échelle 𝑎. En effet, lorsque nous effectuons une dilatation verticale d'une fonction par un facteur d'échelle 𝑎, cela a pour effet de multiplier les valeurs de son ensemble image par 𝑎. Ainsi, si l’ensemble image de la fonction sinus est l'intervalle fermé moins un ; un, l’ensemble image de la fonction 𝑓 de 𝜃 est égale à 𝑎 sinus deux 𝜃 est l'intervalle fermé moins 𝑎 ; 𝑎. On nous dit que cet intervalle doit être égal à l'intervalle fermé moins cinq ; cinq.

Il est très important de noter que l'on nous a dit que 𝑎 est positif. Cela veut dire que lorsque nous multiplions la fonction sinus par 𝑎, cela n'a pour effet que de dilater la fonction par un facteur 𝑎. Si 𝑎 était négatif, la fonction aurait une dilatation d'un facteur égal à la valeur absolue de 𝑎 et aurait également subi une symétrie par rapport l'axe des 𝑥. Ainsi, la plus petite valeur de l’ensemble image correspondrait à la valeur maximale du nouvel ensemble image et vice versa. Les extrémités seraient donc effectivement permutées. Puisque 𝑎 est positif dans notre question, la fonction ne subit pas de symétrie. Nous pouvons donc simplement comparer les extrémités inférieures des deux intervalles et les extrémités supérieures des deux intervalles. Ainsi, nous constatons que la valeur de 𝑎 est cinq.

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