Transcription de la vidéo
Simplifiez logarithme de base 𝑥 de racine sixième de 𝑥 puissance quatre.
Avant de simplifier le logarithme, essayons tout d’abord de simplifier cet exposant. On sait que la racine 𝑛-ième de 𝑥 est égale à 𝑥 puissance un sur 𝑛, ce qui signifie que l’on peut reformuler ceci par log de base 𝑥 de 𝑥 puissance quatre puissance un sur six. Dans ce cas, on calcule une puissance d’une puissance. Et on peut simplifier 𝑥 puissance 𝑎 puissance 𝑏 par 𝑥 puissance 𝑎 fois 𝑏, ce qui donne log de base 𝑥 de 𝑥 puissance quatre sur six. Et c’est maintenant que nous allons avoir besoin d’une des lois des logarithmes.
On rappelle que log de 𝑥 puissance 𝑎 est égal à 𝑎 fois log de 𝑥. Cela signifie que l’on a maintenant quatre sur six fois log de base 𝑥 de 𝑥. Mais que représente ce log de base 𝑥 de 𝑥 ? Cela nous demande en fait quelle puissance de 𝑥 est égale à 𝑥. Or on sait que 𝑥 puissance un égale 𝑥. Et c’est de là que vient la propriété selon laquelle log de base 𝑏 de 𝑏 est égal à un. Cela signifie que l’on peut remplacer log de base 𝑥 de 𝑥 par un et obtenir quatre sur six fois un.
L’énoncé demande de simplifier l’expression. Mais nous ne l’avons pas encore complètement simplifiée car quatre et six sont tous les deux divisibles par deux. En divisant le numérateur et le dénominateur par deux, on obtient deux sur trois, ce qui nous permet de conclure que log de base 𝑥 de racine sixième de 𝑥 puissance quatre est égal à deux sur trois.