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Vidéo question :: Évaluer l’intégrale bornée d’un polynôme Mathématiques • Troisième année secondaire

Déterminez la valeur de ∫_ (0) ^ (1) (8𝑣⁷ + 12𝑣³ + 3) 𝑑𝑣.

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Transcription de la vidéo

Évaluez l’intégrale de zéro à un de huit 𝑣 à la puissance sept plus 12𝑣 au cube plus trois 𝑑𝑣.

Bien, si nous voulons évaluer cette intégrale bornée, la première étape consiste à intégrer notre expression. Pour nous rappeler comment faire cela, nous avons la forme générale qui dit que l’intégrale de 𝑎𝑢 à la puissance 𝑛 𝑑𝑢 est égale à 𝑎𝑢 à la puissance 𝑛 plus un sur 𝑛 plus un plus 𝐶.

Qu’est-ce que cela signifie en pratique ? Bien, en pratique, cela signifie que nous augmentons en fait l’exposant de notre terme de un, puis que nous divisons par le nouvel exposant. Il convient également de noter que nous avons une intégrale bornée dans notre question, nous n’avons pas besoin d’inclure le plus 𝐶 à la fin.

Très bien ! Maintenant, intégrons notre expression. Ainsi, notre premier terme sera de huit sur huit 𝑣 à la puissance huit. En effet, nous élevons l’exposant d’une unité, je suis donc passé de sept à huit, puis nous divisons par ce nouvel exposant, nous avons donc divisé par huit. Puis, nous avons 12 sur quatre 𝑣 à la puissance quatre. Puis, notre dernier terme est trois 𝑣.

Très bien ! Nous avons donc intégré. Que faisons-nous maintenant ? Bien, nous pouvons jeter un oeil à cela, si nous avons l’intégrale de 𝑓 de 𝑢 𝑑𝑢 qui est égale à 𝑔 de 𝑢 plus 𝐶, alors nous pouvons dire que l’intégrale de 𝑎 à 𝑏 de 𝑓 de 𝑢 𝑑𝑢 est égale à 𝑔 de 𝑢 entre les limites 𝑎 et 𝑏. Nous en sommes à ce stade car nous avons intégré et nous avons nos bornes 𝑎, qui est notre limite inférieure, et 𝑏, qui est notre limite supérieure.

Ensuite, cela va être égal à 𝑔 de 𝑏 moins 𝑔 de 𝑎. Cela signifie que nous calculons la valeur de 𝑔 en la borne supérieure moins la valeur de 𝑔 en la borne inférieure. Très bien ! Maintenant, nous savons quoi faire. Faisons cette prochaine étape avec notre expression. Afin de compléter cette prochaine étape, nous allons devoir remplacer 𝑣 par un.

Juste avant, nous allons en fait simplifier notre expression un peu plus pour nous faciliter la vie, ce qui nous donne 𝑣 à la puissance huit plus trois 𝑣 à la puissance quatre plus trois 𝑣 et nos limites restent un et zéro. Maintenant, nous pouvons effectuer la dernière étape et nous pouvons substituer un dans 𝑣 et zéro dans 𝑣 pour obtenir nos valeurs de 𝑣 en les bornes supérieures et inférieures.

Nous allons donc obtenir un à la puissance huit plus trois multiplié par un à la puissance quatre plus trois multiplié par un, puis moins zéro à la puissance huit plus trois fois zéro à la puissance quatre plus trois fois zéro. Nous pouvons en fait voir que notre limite inférieure va juste être zéro parce que nous avons multiplié par zéro tout du long.

Nous allons donc obtenir un plus trois plus trois, ce qui équivaut à sept. Nous pouvons donc dire que si vous évaluez l’intégrale de huit 𝑣 à la puissance sept plus 12𝑣 au cube plus trois 𝑑𝑣 entre zero et un, alors la réponse est sept.

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