Transcription de la vidéo
Discutez de la dérivabilité de la fonction 𝑓 de 𝑥 égale moins quatre 𝑥 plus un sur 𝑥 en 𝑥 égale moins sept.
On nous dit que la fonction 𝑓 de 𝑥 est moins quatre 𝑥 plus un sur 𝑥. On nous demande de discuter de la dérivabilité de cette fonction en 𝑥 égal moins sept.
La première chose à vérifier lorsque nous considérons la dérivabilité d’une fonction en un point est de déterminer si la fonction est continue en ce point. En effet, si une fonction 𝑓 de 𝑥 est dérivable en 𝑥 est égal à 𝑎, alors 𝑓 est continue en 𝑥 est égal à 𝑎. Cela signifie que pour qu’une fonction soit dérivable en un point, elle doit être continue en ce point. Si elle n’est pas continue en ce point, alors elle ne peut pas y être dérivable. L’inverse de cette affirmation n’est pas nécessairement vrai. Une fonction peut être continue en un point sans y être dérivable.
Nous avons donc besoin que notre fonction soit continue lorsque 𝑥 est égal à moins sept. Une fois que nous avons établi cela, nous déterminerons si la dérivée existe en ce point. Trois conditions doivent être remplies pour qu’une fonction soit continue en un point. Ces conditions sont : 𝑓 en 𝑥 est égal à 𝑎 existe, la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 existe et la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 est égale à 𝑓 en 𝑥 est égal à 𝑎.
Notre fonction 𝑓 de 𝑥 est égale à moins quatre 𝑥 plus un sur 𝑥. En regardant la première condition, nous voulons savoir si 𝑓 de moins sept existe ou non. En substituant moins sept dans notre fonction, nous avons moins quatre fois moins sept plus un sur moins sept. Cela équivaut à 28 moins un sur sept, soit 24 sur sept. Donc, 𝑓 de moins sept existe et est égal à 24 sur sept. Notre première condition de continuité est remplie.
Maintenant, nous devons vérifier la deuxième condition selon laquelle la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 existe. Dans notre cas, cela signifie vérifier que la limite lorsque 𝑥 tend vers moins sept de 𝑓 de 𝑥 existe. Lorsque 𝑥 tend vers moins sept, notre fonction tend vers moins quatre fois moins sept plus un sur moins sept. Nous savons déjà que cela donne 24 sur sept, de sorte que la limite lorsque 𝑥 tend vers moins sept de 𝑓 de 𝑥 existe. Notre deuxième condition pour la continuité au point est donc remplie.
Pour la troisième condition, nous voulons savoir que la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 est 𝑓 de 𝑎. Nous savons que cela est bien le cas gràace à nos première et deuxième conditions. La limite lorsque 𝑥 tend vers moins sept de 𝑓 de 𝑥 est égale à 24 sur sept, soit 𝑓 de 𝑎. Ainsi, la troisième condition de continuité est remplie.
Puisque nous savons maintenant que notre fonction est continue en 𝑥 égal moins sept, nous pouvons vérifier la dérivabilité en ce point. Notre condition de dérivabilité en un point est : 𝑓 de 𝑥 est dérivable en 𝑥 est égal à 𝑎 si 𝑓 prime de 𝑎 existe. Ainsi, si nous pouvons montrer que la dérivée de 𝑓 en 𝑥 égal moins sept existe, alors notre fonction est dérivable en ce point.
Nous pouvons écrire notre dérivée comme 𝑓 prime de 𝑥 ou d𝑓 sur d𝑥, qui est la notation de Leibniz. Nous cherchons d sur d𝑥 de moins quatre 𝑥 plus un sur 𝑥. Puisque un sur 𝑥 vaut 𝑥 à la puissance moins un, nous cherchons d sur d𝑥 de moins quatre 𝑥 plus 𝑥 à la puissance moins un.
En dérivant notre premier terme, moins quatre 𝑥, nous savons que la dérivée de 𝑥 multipliée par une constante n’est qu’une constante. Ainsi, d sur d𝑥 de moins quatre 𝑥 est moins quatre. Pour notre deuxième terme, 𝑥 puissance moins un, nous pouvons utiliser la règle des puissances. Cette règle stipule que d sur d𝑥 de 𝑎𝑥 de 𝑛 est égal à 𝑛 fois 𝑎 fois 𝑥 de 𝑛 moins un. En d’autres termes, nous multiplions par l’exposant et retirons un de l’exposant. Ainsi, d sur d𝑥 de 𝑥 à la puissance moins un est égale moins 𝑥 à la puissance moins deux, ce qui donne en tout moins quatre moins un sur 𝑥 au carré.
Notre question est : 𝑓 prime de moins sept existe-t-elle ? En substituant moins sept à 𝑓 prime, ou d𝑓 sur d𝑥, nous avons moins quatre moins un sur moins sept au carré. Cela équivaut à moins 4,02, au centième près, de sorte que la condition de dérivabilité disant que 𝑓 prime de 𝑎 existe est satisfaite. Nous pouvons donc dire que 𝑓 de 𝑥 est égal à moins quatre 𝑥 plus un sur 𝑥 est dérivable en 𝑥 égale moins sept parce que 𝑓 prime en 𝑥 égal moins sept existe.
Il convient de noter que si nous avions examiné 𝑓 de 𝑥 en 𝑥 est égal à zéro, le résultat aurait été différent. En effet, nous avons le terme un sur 𝑥 dans notre fonction qui, en 𝑥 est égal à zéro, n’est pas défini. Ainsi, 𝑓 de zéro n’existe pas, la fonction n’est pas continue en ce point et, par conséquent, la fonction est non dérivable en 𝑥 est égal à zéro.
