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Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment associer une fonction aux représentations graphiques de ses dérivées première et seconde. Nous verrons comment utiliser les graphiques des dérivées première et seconde d’une fonction pour faire des déductions sur le graphique et les propriétés de la fonction. Vous devez déjà connaître les principales caractéristiques du graphique d’une fonction, telles que les minima et les maxima locaux. Vous devez également connaître la définition de la concavité d’une fonction et son lien avec les points d’inflexion d’une fonction. Enfin, vous devez savoir ce que signifie la croissance et la décroissance d’une fonction sur un intervalle donné, même si ces concepts seront brièvement rappelés dans le contexte des exemples.
Commençons par considérer une fonction 𝑓 de 𝑥 égale 𝑥 au cube plus trois 𝑥 au carré moins neuf 𝑥. On peut la dériver pour trouver sa dérivée première, 𝑓 prime de 𝑥 est égale à trois 𝑥 au carré plus six 𝑥 moins neuf, ainsi que sa dérivée seconde, 𝑓 seconde de 𝑥, qui est égale à six 𝑥 plus six. Maintenant, traçons chacune de ces fonctions, en s’aidant au besoin d’une calculatrice graphique, puis voyons ce que montrent les graphiques. Voici ces trois graphiques. La courbe de 𝑦 égale 𝑓 de 𝑥 est celle d’une fonction cubique. La courbe de 𝑦 égale 𝑓 prime de 𝑥 est une fonction du second degré. Et le graphique 𝑦 égale 𝑓 seconde de 𝑥 est une droite. Regardons d’abord la courbe de 𝑦 égale 𝑓 de 𝑥, on voit que la fonction a deux points critiques d’abscisse 𝑥 égale moins trois et plus un.
Sur le graphique de la dérivée première, 𝑓 prime de 𝑥, on voit que 𝑓 prime de 𝑥 s’annule pour ces deux valeurs de 𝑥 car la courbe traverse l’axe des 𝑥 en ces deux points. On sait déjà, d’après la définition des points critiques, que 𝑓 prime de 𝑥 est égale à zéro. Mais en regardant seulement la courbe de la dérivée première, on aurait pu en déduire que la fonction 𝑓 de 𝑥 a des points critiques. On trouve des maxima locaux, des minima locaux ou des points d’inflexion en ces deux valeurs de 𝑥.
Une autre propriété de cette fonction 𝑓 de 𝑥 visible sur son graphique est que, par exemple, elle est croissante sur l’intervalle ouvert moins l’infini, moins trois. En regardant la courbe de 𝑓 prime de 𝑥, on voit que 𝑓 prime de 𝑥 est toujours positive sur cet intervalle car la courbe de 𝑓 prime de 𝑥 est au-dessus de l’axe des 𝑥. Si on examine le signe de 𝑓 prime de 𝑥, c’est-à-dire si sa courbe est au-dessus ou en dessous de l’axe des 𝑥 sur un intervalle donné, on peut en déduire si la fonction est croissante ou décroissante sur ce même intervalle. On peut donc en déduire si une fonction croît ou décroît à partir du graphique de sa dérivée première sans avoir besoin de tracer le graphique de la fonction elle-même.
On voit aussi sur le graphique de 𝑓 de 𝑥 que 𝑓 a un point d’inflexion en 𝑥 égale moins un, parce qu’à cet endroit la concavité du graphique passe de concave, à convexe. En regardant les courbes de 𝑓 prime de 𝑥 et de 𝑓 seconde de 𝑥, on voit deux choses qui se produisent en ce point. Premièrement, la pente de la courbe de 𝑓 prime de 𝑥 passe de négative à positive. Ou bien on peut dire que la dérivée première passe de décroissante à croissante en 𝑥 égale moins un. Ça veut dire que la dérivée seconde passe de négative à positive lorsque 𝑥 égale moins un, ce qui correspond à ce qu’on voit sur le troisième graphique. La droite rose est en dessous de l’axe des 𝑥 pour les valeurs de 𝑥 inférieures à moins un et au-dessus de l’axe des 𝑥 pour les valeurs de 𝑥 supérieures à moins un.
En 𝑥 égale moins un, la droite coupe l’axe des 𝑥, et 𝑓 seconde de moins un égale zéro. Si on combine ceci avec le changement de signe de 𝑓 seconde de 𝑥, la dérivée seconde aurait suffi pour en déduire que la courbe de 𝑓 a un point d’inflexion en 𝑥 égale moins un sans avoir à dessiner les courbes ni de 𝑓 de 𝑥 ni de 𝑓 prime de 𝑥. Enfin, on peut également utiliser le graphique de la dérivée seconde pour classer les points tournants de la fonction 𝑓. On voit que la valeur de la dérivée seconde en 𝑥 égale moins trois est négative. Et donc, selon le test de la dérivée seconde, le point critique en 𝑥 égale moins trois est un maximum local, ce qui correspond à ce qu’on voit sur le graphique de la fonction 𝑓.
La valeur de 𝑓 seconde de un est quant à elle positive. Donc, par le test de la dérivée seconde, on sait que le point critique en 𝑥 égale un est un minimum local, ce qui correspond encore une fois à ce qu’on voit sur la courbe de 𝑓. Voyons maintenant comment appliquer à des exemples ces quelques principes généraux que nous avons vus.
Ceci est le graphique de la dérivée première 𝑓 prime d’une fonction 𝑓. Sur quels intervalles 𝑓 est-elle concave ou convexe ?
Commençons par rappeler ce que signifient ces deux termes, convexe et convexe. Si une fonction est concave sur un intervalle donné, cela signifie que toutes les tangentes au graphique de cette fonction se situent en dessous de la courbe sur cet intervalle. En traçant ces tangentes, on voit aussi que la pente de ces tangentes croît. C’est peut-être plus évident sur le dessin de droite. Mais sur le dessin de gauche, on voit que les tangentes ont une pente négative. Et elles deviennent moins raides, les valeurs deviennent moins négatives, c’est-à-dire augmentent.
On peut donc voir un lien entre la concavité d’une fonction et sa dérivée première. Quand une fonction est concave, sa dérivée première est croissante. Si une fonction est convexe, sur un intervalle donné, cela signifie que toutes les tangentes à sa courbe se situent au-dessus de la courbe sur cet intervalle. Sur ce dessin, on voit que la pente de la tangente est maintenant décroissante. Et donc, on voit que lorsqu’une fonction est concave, sa dérivée première décroît. Ceci donne un indice important sur la façon de déterminer la concavité de cette fonction en utilisant cette figure qui, rappelons-le, est le graphique de la dérivée première de cette fonction.
Pour trouver où une fonction est convexe, il faut chercher si le graphique de sa dérivée première est croissant, ce qui signifie qu’elle a une pente positive. On voit d’abord que c’est vrai sur l’intervalle ouvert zéro, un. C’est également vrai sur l’intervalle ouvert deux, trois et sur l’intervalle ouvert cinq, sept. En regardant où la pente de la dérivée première est négative et donc où la dérivée première est décroissante, on peut en déduire où la fonction 𝑓 est concave. D’abord l’intervalle ouvert un, deux ; l’intervalle ouvert trois, cinq ; et enfin l’intervalle ouvert sept, neuf. Voilà donc notre réponse au problème.
Il faut faire attention et avoir conscience de ce qu’on recherche. On ne cherche pas à savoir où la dérivée première est positive ou négative, mais plutôt croissante ou décroissante, ce qui est donné non par le signe de la dérivée première, mais par la pente de son graphique.
Dans l’exemple suivant, nous utiliserons le graphique d’une fonction pour déterminer le signe de ses dérivées première et seconde.
Voici la courbe d’une fonction 𝑦 égale 𝑓 de 𝑥 ; en quel point d𝑦 sur d𝑥 et d deux 𝑦 sur d𝑥 au carré sont-elles toutes les deux négatives ?
Il s’agit du graphique de la fonction elle-même. On nous demande de l’utiliser pour déterminer en lequel de ces cinq points les dérivées première et seconde de la fonction sont négatives. Tout d’abord, regardons le signe de la dérivée première d𝑦 sur d𝑥 en chaque point. Rappelons que la dérivée première d’une fonction en un point donne la pente de la tangente à la courbe en ce point. Donc en traçant une tangente à la courbe en chaque point, on peut déterminer le signe de leur dérivée première.
On voit qu’au point 𝐴 la tangente est en pente descendante. La dérivée première, d𝑦 sur d𝑥, est en effet négative au point 𝐴. Mais aux points 𝐵 et 𝐶, les deux tangentes sont inclinées vers le haut, ce qui indique que la dérivée première d𝑦 sur d𝑥 est positive en 𝐵 et en 𝐶. Au point 𝐷, la tangente à la courbe est horizontale. La dérivée première est donc nulle en ce point, et non pas négative. Enfin, au point 𝐸, on voit que la tangente est en pente descendante. Donc la dérivée première est également négative au point 𝐸. Il ne reste donc que deux propositions, 𝐴 et 𝐸. Il faut ensuite regarder le signe de la dérivée seconde en chacun de ces points. Celui-ci est lié à la concavité de la courbe en chaque point.
Rappelons que la courbe est dite concave sur un intervalle donné si les tangentes à la courbe sur cet intervalle se situent au-dessus de la courbe. On voit également que lorsqu’une courbe est concave, la pente de sa tangente est décroissante. Et donc sa dérivée première est aussi décroissante. Quand une fonction est décroissante, sa dérivée est négative. Et comme la dérivée de la dérivée première est la dérivée seconde, il s’ensuit que d deux 𝑦 sur d𝑥 au carré est inférieur à zéro lorsqu’une courbe est concave.
Ce n’est pas nécessaire ici, mais une courbe est dite convexe dans le cas inverse : Les tangentes à la courbe se trouvent en dessous de la courbe. La dérivée première est décroissante et, par conséquent, la dérivée seconde est positive. En regardant la courbe de 𝑓 de 𝑥, on voit que la tangente dessinée au point 𝐸 se situe au-dessus de la courbe. Et effectivement, la forme de la courbe est concave dans cette zone. Mais, si on regarde le point 𝐴, la tangente dessinée ici est en dessous de la courbe. Et donc le graphique est convexe au point 𝐴. Cela indique que la dérivée seconde est négative au point 𝐸, alors qu’elle est positive au point 𝐴.
Il ne reste plus qu’un seul point où les dérivées première et seconde sont négatives. C’est le point 𝐸. Nous avons vu dans cet exemple comment faire des déductions sur les dérivées première et seconde d’une fonction à partir du graphique de la fonction elle-même.
Voyons maintenant comment faire des déductions sur le graphique d’une fonction à partir du graphique de sa dérivée seconde.
Utilisez le graphique suivant d’une fonction 𝑓 seconde pour trouver les abscisses 𝑥 des points d’inflexion de 𝑓.
Voici donc le graphique de la dérivée seconde d’une fonction, on nous demande de l’utiliser pour faire des déductions sur la fonction elle-même. Rappelons d’abord qu’en un point d’inflexion, la dérivée seconde 𝑓 seconde de 𝑥 est nulle. Mais ce n’est pas une condition suffisante pour qu’un point soit un point d’inflexion, car la dérivée seconde peut aussi être nulle dans le cas d’un minimum local ou d’un maximum local. Mais ça nous donne un point de départ. Sur la figure, on voit que 𝑓 seconde de 𝑥 est égale à zéro à trois endroits : pour 𝑥 égale un, 𝑥 égale quatre et 𝑥 égale sept. Ce sont donc les abscisses 𝑥 des trois points d’inflexion potentiels de la fonction 𝑓.
Maintenant, précisons ce qu’on sait sur les points d’inflexion. Il y a des points du graphique d’une fonction où sa concavité passe de concave à convexe ou inversement. Rappelons aussi que lorsqu’une fonction est concave, sa dérivée seconde, 𝑓 seconde de 𝑥, est négative. Et quand une fonction est convexe, sa dérivée seconde est positive. Au niveau du point d’inflexion, 𝑓 seconde de 𝑥 est nulle, ce qu’on a déjà utilisé pour déterminer les points d’inflexion potentiels. Mais le point essentiel est que lorsqu’un changement de concavité se produit, il y a également un changement du signe de la dérivée seconde. Sur la figure, on voit que le signe de la dérivée seconde passe de négatif à positif en 𝑥 égale un et passe de positif à négatif en 𝑥 égale sept.
Alors que, de chaque côté de 𝑥 égale quatre, la dérivée seconde est positive, et donc aucun changement de signe ne se produit ici. Par conséquent, il n’y a pas de changement de concavité de la fonction en 𝑥 égale quatre, mais il y en a en 𝑥 égale un et 𝑥 égale sept. On peut donc en conclure que la fonction 𝑓 a des points d’inflexion en 𝑥 égale un et 𝑥 égale sept.
Dans le dernier exemple, nous verrons comment déterminer si une fonction est croissante ou décroissante sur un intervalle à partir du graphique de sa dérivée première.
La courbe suivante représente la dérivée 𝑓 prime d’une fonction 𝑓. Sur quels intervalles 𝑓 est-elle croissante ou décroissante ?
Pour répondre à cette question, rappelons le lien entre la croissance ou la décroissance d’une fonction et sa dérivée première. Formellement, une fonction est croissante sur un intervalle 𝐼 si 𝑓 de 𝑥 un est inférieure à 𝑓 de 𝑥 deux pour toutes les paires de valeurs 𝑥 un et 𝑥 deux, avec 𝑥 un inférieur à 𝑥 deux dans l’intervalle 𝐼. En pratique, ça veut simplement dire que le graphique de la fonction est en pente ascendante. Et donc sa dérivée première qui, rappelons-le, est la fonction pente de la courbe, est positive. À l’inverse, une fonction est décroissante sur un intervalle 𝐼 si 𝑓 de 𝑥 un est supérieure à 𝑓 de 𝑥 deux pour tous 𝑥 un inférieurs à 𝑥 deux de l’intervalle 𝐼, ce qui en pratique veut simplement dire que la courbe est en pente descendante. Et donc la dérivée première, 𝑓 prime de 𝑥, est négative.
Donc, pour déterminer les intervalles où une fonction est croissante ou décroissante, il suffit d’examiner le signe de sa dérivée première. Ainsi, la fonction 𝑓 croît lorsque la courbe de sa dérivée première 𝑓 prime est au-dessus de l’axe des 𝑥. Sur la figure, on voit que c’est vrai sur l’intervalle ouvert un à cinq. 𝑓 décroît lorsque la courbe de sa dérivée première est en dessous de l’axe des 𝑥. Sur la figure, on voit que c’est vrai sur deux intervalles ouverts, l’intervalle zéro, un et l’intervalle cinq, six. On peut donc conclure que 𝑓 est croissante sur l’intervalle ouvert un à cinq et décroissante sur les intervalles ouverts zéro à un et cinq à six.
Dans cette vidéo, nous avons vu comment utiliser les graphiques des dérivées première et seconde d’une fonction pour en déduire les principales caractéristiques de la fonction elle-même, et comment utiliser le graphique d’une fonction pour en déduire ses dérivées première et seconde. Nous avons vu que lorsque la dérivée première d’une fonction est égale à zéro, alors la fonction a un point critique. Et par conséquent, on peut trouver les valeurs 𝑥 des points critiques de la fonction à partir de la courbe de sa dérivée première. En regardant où cette courbe traverse l’axe des 𝑥. On sait également que le signe de la dérivée première indique si une fonction est croissante ou décroissante sur un intervalle donné. Ainsi, en regardant si la courbe de la dérivée première est au-dessus ou en dessous de l’axe des 𝑥 sur un intervalle donné, on peut savoir si la fonction est croissante ou décroissante.
On a également vu qu’on pouvait utiliser le graphique de la dérivée seconde d’une fonction pour savoir si la fonction a des points d’inflexion. Aux points d’inflexion, la dérivée seconde est nulle. Mais il y a aussi un changement du signe de la dérivée seconde, ce qui indique un changement de concavité de la fonction. En regardant en quels points la courbe de la dérivée seconde est nulle et si elle subit un changement de signe pour ces valeurs, on peut trouver les abscisses 𝑥 de tous les points d’inflexion de la fonction. Et donc, en comprenant les liens entre les graphiques d’une fonction et de ses dérivées, on peut faire des déductions sur la fonction elle-même sans avoir à tracer son graphique. On peut aussi utiliser le graphique d’une fonction pour déterminer les caractéristiques de ses dérivées.
