Transcription de la vidéo
Hé les gars ! J’ai une vidéo assez rapide pour vous aujourd’hui, juste une note de bas
de page entre les chapitres. Dans les deux dernières vidéos, j’ai parlé des applications linéaires et
des matrices, mais je n’ai montré que le cas spécifique des
applications qui associent des vecteurs à deux dimensions à d’autres
vecteurs à deux dimensions.
En général, nous travaillerons principalement en deux dimensions tout au
long de la série, principalement parce qu’il est plus facile de voir
à l’écran et de réfléchir. Mais plus important encore, une fois que toutes les idées de base sont
regroupées en deux dimensions, elles sont parfaitement intégrées aux
dimensions les plus élevées. Néanmoins, il est bon que nous voyions de temps en temps ce que cela
signifiait d’appliquer ces idées dans plus de ces deux
dimensions.
Par exemple, considérons une application linéaire avec des vecteurs
tridimensionnels comme entrées et des vecteurs tridimensionnels
comme sorties. Nous pouvons le visualiser en glissant autour de tous les points de
l’espace tridimensionnel, représentés par une grille, de manière à
maintenir les lignes de la grille parallèles et régulièrement
espacées et à fixer l’origine en place. Et comme pour les deux dimensions, chaque point de l’espace que nous
voyons bouger n’est en réalité qu’un représentant pour un vecteur
qui a sa pointe à cet endroit-là, et ce que nous faisons réellement,
c’est penser aux vecteurs d’entrée qui se déplacent vers leurs
sorties correspondantes. Et comme avec deux dimensions, l’une de ces applications est complètement
décrite par l’emplacement des vecteurs de base. Mais maintenant, il y a trois vecteurs de base standard que nous
utilisons habituellement : le vecteur unitaire dans la direction des
𝑥, 𝑖 chapeau ; le vecteur unitaire dans la direction des 𝑦, 𝑗
chapeau ; et un nouveau type, le vecteur unitaire dans la direction
des 𝑧 appelé 𝑘 chapeau.
En fait, je pense qu’il est plus facile de penser à ces applications en
ne faisant que suivre ces vecteurs de base car la grille 3D complète
représentant tous les points peut devenir un peu confuse. En laissant une copie des axes originaux en arrière-plan, nous pouvons
penser aux coordonnées de l’emplacement de chacun de ces trois
vecteurs de base. Notez les coordonnées de ces trois vecteurs en tant que colonnes d’une
matrice trois sur trois. Cela donne une matrice qui décrit complètement l’application en utilisant
seulement neuf nombres. À titre d’exemple simple, considérons la application qui tourne l’espace
de 90 degrés autour de l’axe des 𝑦. Cela voudrait dire que cela envoie 𝑖 chapeau sur les coordonnées zéro,
zéro, moins un sur l’axe des 𝑧. Il ne déplace pas 𝑗 chapeau de sorte qu’il reste aux coordonnées zéro,
un, zéro. Et puis 𝑘 chapeau passe sur l’axe des 𝑥 à un, zéro, zéro. Ces trois ensembles de coordonnées deviennent les colonnes d’une matrice
décrivant cette application de rotation.
Pour voir où le vecteur avec les coordonnées 𝑥𝑦𝑧 atterrit, le
raisonnement est presque identique à celui utilisé pour deux
dimensions : chacune de ces coordonnées peut être considérée comme
une instruction sur la mise à l’échelle de chaque vecteur de base
afin qu’ils s’ajoutent pour obtenir votre vecteur. Et le point important, tout comme dans le cas 2D, est que ce processus de
mise à l’échelle et d’addition fonctionne à la fois avant et après
l’application. Donc, pour voir où votre vecteur atterrit, multipliez ces coordonnées par
les colonnes correspondantes de la matrice, puis additionnez les
trois résultats. Multiplier deux matrices est également similaire. Chaque fois que vous voyez deux matrices trois sur trois se multiplier,
imaginez d’abord appliquer l’application codée par celle de droite
puis l’application codée par celle de gauche. Il s’avère que la multiplication matricielle 3D est en fait assez
importante pour des domaines tels que l’infographie et la robotique,
car des rotations en trois dimensions peuvent être assez difficiles
à décrire, mais elles sont plus faciles à comprendre si vous pouvez
les décomposer en tant que composition de rotations séparées, plus
faciles à penser.
Effectuer cette multiplication matricielle numériquement est, une fois de
plus, assez similaire au cas bidimensionnel. En fait, un bon moyen de tester votre compréhension de la dernière vidéo
serait d’essayer de raisonner à quoi devrait ressembler
spécifiquement cette multiplication matricielle, en réfléchissant de
près à la manière dont elle est liée à l’idée d’appliquer deux
applications successives dans l’espace.
Dans la vidéo suivante, je vais introduire le déterminant.