Vidéo : Applications linéaires en trois dimensions

Grant Sanderson • 3Blue1Brown • Boclips

Applications linéaires en trois dimensions

04:45

Transcription de vidéo

Hé les gars ! J’ai une vidéo assez rapide pour vous aujourd’hui, juste une note de bas de page entre les chapitres. Dans les deux dernières vidéos, j’ai parlé des applications linéaires et des matrices, mais je n’ai montré que le cas spécifique des applications qui associent des vecteurs à deux dimensions à d’autres vecteurs à deux dimensions.

En général, nous travaillerons principalement en deux dimensions tout au long de la série, principalement parce qu’il est plus facile de voir à l’écran et de réfléchir. Mais plus important encore, une fois que toutes les idées de base sont regroupées en deux dimensions, elles sont parfaitement intégrées aux dimensions les plus élevées. Néanmoins, il est bon que nous voyions de temps en temps ce que cela signifiait d’appliquer ces idées dans plus de ces deux dimensions.

Par exemple, considérons une application linéaire avec des vecteurs tridimensionnels comme entrées et des vecteurs tridimensionnels comme sorties. Nous pouvons le visualiser en glissant autour de tous les points de l’espace tridimensionnel, représentés par une grille, de manière à maintenir les lignes de la grille parallèles et régulièrement espacées et à fixer l’origine en place. Et comme pour les deux dimensions, chaque point de l’espace que nous voyons bouger n’est en réalité qu’un représentant pour un vecteur qui a sa pointe à cet endroit-là, et ce que nous faisons réellement, c’est penser aux vecteurs d’entrée qui se déplacent vers leurs sorties correspondantes. Et comme avec deux dimensions, l’une de ces applications est complètement décrite par l’emplacement des vecteurs de base. Mais maintenant, il y a trois vecteurs de base standard que nous utilisons habituellement : le vecteur unitaire dans la direction des 𝑥, 𝑖 chapeau ; le vecteur unitaire dans la direction des 𝑦, 𝑗 chapeau ; et un nouveau type, le vecteur unitaire dans la direction des 𝑧 appelé 𝑘 chapeau.

En fait, je pense qu’il est plus facile de penser à ces applications en ne faisant que suivre ces vecteurs de base car la grille 3D complète représentant tous les points peut devenir un peu confuse. En laissant une copie des axes originaux en arrière-plan, nous pouvons penser aux coordonnées de l’emplacement de chacun de ces trois vecteurs de base. Notez les coordonnées de ces trois vecteurs en tant que colonnes d’une matrice trois sur trois. Cela donne une matrice qui décrit complètement l’application en utilisant seulement neuf nombres. À titre d’exemple simple, considérons la application qui tourne l’espace de 90 degrés autour de l’axe des 𝑦. Cela voudrait dire que cela envoie 𝑖 chapeau sur les coordonnées zéro, zéro, moins un sur l’axe des 𝑧. Il ne déplace pas 𝑗 chapeau de sorte qu’il reste aux coordonnées zéro, un, zéro. Et puis 𝑘 chapeau passe sur l’axe des 𝑥 à un, zéro, zéro. Ces trois ensembles de coordonnées deviennent les colonnes d’une matrice décrivant cette application de rotation.

Pour voir où le vecteur avec les coordonnées 𝑥𝑦𝑧 atterrit, le raisonnement est presque identique à celui utilisé pour deux dimensions : chacune de ces coordonnées peut être considérée comme une instruction sur la mise à l’échelle de chaque vecteur de base afin qu’ils s’ajoutent pour obtenir votre vecteur. Et le point important, tout comme dans le cas 2D, est que ce processus de mise à l’échelle et d’addition fonctionne à la fois avant et après l’application. Donc, pour voir où votre vecteur atterrit, multipliez ces coordonnées par les colonnes correspondantes de la matrice, puis additionnez les trois résultats. Multiplier deux matrices est également similaire. Chaque fois que vous voyez deux matrices trois sur trois se multiplier, imaginez d’abord appliquer l’application codée par celle de droite puis l’application codée par celle de gauche. Il s’avère que la multiplication matricielle 3D est en fait assez importante pour des domaines tels que l’infographie et la robotique, car des rotations en trois dimensions peuvent être assez difficiles à décrire, mais elles sont plus faciles à comprendre si vous pouvez les décomposer en tant que composition de rotations séparées, plus faciles à penser.

Effectuer cette multiplication matricielle numériquement est, une fois de plus, assez similaire au cas bidimensionnel. En fait, un bon moyen de tester votre compréhension de la dernière vidéo serait d’essayer de raisonner à quoi devrait ressembler spécifiquement cette multiplication matricielle, en réfléchissant de près à la manière dont elle est liée à l’idée d’appliquer deux applications successives dans l’espace.

Dans la vidéo suivante, je vais introduire le déterminant.

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