Transcription de la vidéo
Déterminez l’ensemble solution de l’équation sinus carré de 𝜃 moins cosinus carré de 𝜃 égale zéro pour 𝜃 supérieur ou égal à zéro degré et strictement inférieur à 360 degrés.
Maintenant, pour résoudre ce problème, nous allons utiliser l’une de nos identités trigonométriques. L’identité que nous allons utiliser est cosinus carré de 𝜃 est égal à un moins sinus carré de 𝜃. Nous allons l’utiliser afin d’avoir uniquement soit sinus soit cosinus dans notre équation. Ainsi, lorsque nous substituons par cette identité, nous allons obtenir sinus carré de 𝜃 moins un moins sinus carré de 𝜃 est égal à zéro. Si nous simplifions, nous obtenons deux sinus carré de 𝜃 moins un égale zéro.
Il convient de noter que cette étape contient une erreur courante : en effet, nous devons faire attention au signe négatif devant les parenthèses, car cela signifie que nous allons multiplier par moins un, nous avons donc moins un multiplié par moins sinus carré de 𝜃, ce qui va nous donner plus sinus carré de 𝜃. Nous avons donc : deux sinus carré de 𝜃 moins un est égal à zéro. Alors maintenant, si nous ajoutons un de chaque côté de l’équation, nous obtenons deux sinus carré de 𝜃 égale un. Puis, si nous divisons par deux, nous allons obtenir sinus carré de 𝜃 est égal à un demi.
Maintenant, pour déterminer sinus 𝜃, nous allons prendre la racine carrée des deux côtés de l’équation. Cela va nous donner sinus 𝜃 est égal à la racine positive ou négative d’un demi. Bien, si nous avons la racine carrée de un sur deux ou la racine carrée de un demi, cela est égal à la racine carrée de un sur la racine carrée de deux. Bien, avec ça, nous pouvons voir que nous avons un nombre irrationnel au dénominateur. Nous ne voulons jamais avoir cela, donc, nous allons rationaliser le dénominateur en multipliant par racine de deux sur racine de deux, ce qui nous donne racine de deux sur deux.
Très bien, mais pourquoi voulons-nous cela ? Pourquoi faisons-nous cela en premier lieu ? Bien, maintenant, nous avons exactement une de nos valeurs trigonométriques. La valeur trigonométrique que nous savons liée à cela est sinus 45 est égal à racine de deux sur deux. Bien, si nous utilisons cela, nous avons deux valeurs pour 𝜃, 45 degrés et moins 45. En effet, nous avions sinus 𝜃 est égal à plus ou moins racine de deux sur deux. Cependant, nous pouvons tout de suite exclure moins 45 degrés. En effet, cela n’est pas dans l’intervalle que nous examinons, notamment l’intervalle 𝜃 supérieur ou égal à zéro et strictement inférieur à 360.
Bien, maintenant, nous voulons déterminer les autres valeurs possibles de 𝜃. Pour ce faire, nous allons utiliser un diagramme CAST. Le diagramme CAST est divisé en quatre quadrants A, S, T et C. A, S, T et C, représentent les rapports trigonométriques qui sont positifs dans le quadrant indiqué. Ainsi, pour A, tous les rapports de ce quadrant sont positifs ; pour S, seuls les rapports sinus sont positifs ; pour T, seuls les rapports tangente ; et pour C, seuls les rapports cosinus. Bien, la première valeur que nous pouvons ajouter à notre diagramme CAST est 45 degrés. Elle correspond à la première solution que nous avons déterminée.
Bien, la valeur suivante sera 135 degrés. En effet, nous obtenons cela car nous pouvons voir qu’il y a une symétrie dans notre diagramme CAST et que nous avons ici 45 degrés par rapport à l’horizontale. Nous savons aussi que nous nous plaçons dans ce quadrant car lorsque nous avons examiné notre valeur de sinus 𝜃, elle était soit positive, soit négative. Dans ce quadrant, nous aurons des valeurs positives de sin 𝜃. Puisque nous examinons à la fois les valeurs positives et négatives de sinus 𝜃, nous pouvons examiner les valeurs de chacun de nos quadrants tant que les valeurs correspondantes de 𝜃 sont dans notre intervalle, ce qui implique que la valeur suivante sera 225 degrés, ce qui est cette fois supérieur de 45 degrés à 180. Nous avons donc cet angle de 45 degrés avec l’horizontale.
La valeur finale dans l’intervalle que nous examinons est donc de 315 degrés. Encore une fois, il s’agit de 45 degrés par rapport à l’horizontale. Nous pouvons donc dire que l’ensemble des solutions possibles de sinus carré de 𝜃 moins cosinus carré de 𝜃 égale zéro pour 𝜃 supérieur ou égal à zéro degré et strictement inférieur à 360 degrés est constitué de 45 degrés, 135 degrés, 225 degrés et 315 degrés.