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Vidéo de la leçon : Aire de surface des prismes rectangulaires et des cubes Mathématiques

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à calculer l’aire de surface des prismes rectangulaires et des cubes, et à utiliser cela pour résoudre des problèmes de la vie réelle.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à calculer l’aire de surface des prismes rectangulaires et des cubes, et à les utiliser pour résoudre des problèmes de la vie réelle. Nous allons commencer par rappeler à quoi ressemblent un prisme rectangulaire, parfois appelé pavé droit, et un cube. Et comment leurs propriétés peuvent nous aider à trouver l’aire de la surface, qui est juste l’aire totale de toutes leurs faces. Nous allons aussi apprendre comment utiliser les informations sur l’aire de surface d’un cube pour calculer les dimensions manquantes.

Notre première question est donc qu’est-ce qu’un prisme ? Un prisme est une figure tridimensionnelle à section transversale constante. En d’autres termes, la section transversale a la même forme et la même taille sur toute sa longueur. Un prisme triangulaire, par exemple, a une section transversale triangulaire. Je pourrais couper la figure ici ou ici, et la taille et la forme de ce triangle resteraient les mêmes. De même, un cylindre a une section transversale constante qui a la forme d’un cercle. Maintenant, dans cette vidéo, nous nous intéressons aux prismes rectangulaires, comme celui-ci, et aux cubes.

Un cube est simplement un prisme rectangulaire dont les dimensions sont toutes les mêmes. Nous remarquons que les faces, c’est-à-dire les surfaces planes, d’un cube sont toutes carrées. Alors que savons-nous d’autre sur les prismes rectangulaires et les cubes ? Eh bien, imaginons maintenant que nous ouvrons un prisme rectangulaire pour avoir son patron. Le patron pourrait ressembler un peu à ceci. Nous pouvons voir que ce patron a un, deux, trois, quatre, cinq, enfin, six faces. C’est probablement le fait le plus important concernant les prismes rectangulaires et même les cubes lorsqu’il s’agit de calculer l’aire de la surface. C’est la somme totale des aires de toutes les faces. Pour trouver l’aire de la surface d’un prisme rectangulaire ou d’un cube, il suffit de calculer l’aire des six faces et de trouver leur somme. Voyons à quoi cela peut ressembler.

Calculez l’aire de surface du prisme rectangulaire représenté.

Dans cette question, nous avons un prisme rectangulaire. Il est appelé ainsi parce que sa section transversale est un rectangle. Mais il se trouve que toutes ses faces sont également des rectangles. Maintenant, la question est de trouver l’aire de la surface du prisme. Eh bien, l’aire de la surface est l’aire totale de toutes ses faces. Et donc nous commençons par rappeler que les prismes rectangulaires, parfois appelés pavés droits, ont exactement six faces. Nous devons donc identifier chacune de ces faces et calculer son aire. Identifions donc l’une des faces du prisme rectangulaire.

Qu’en est-il de cette face à l’avant de notre figure ? Ça se voit clairement que c’est un rectangle, et nous avons pu voir que la longueur de sa base est de 29 mètres. Nous savons également que l’aire d’un rectangle est sa base multipliée par sa hauteur. Quelle est donc la hauteur de ce rectangle ? Nous savons que la hauteur de notre prisme est de 15 mètres, donc cette dimension ici doit aussi être de 15 mètres. C’est la hauteur de notre rectangle. Et donc, l’aire de ce rectangle est 29 fois 15. Nous avons plusieurs façons de calculer cela. Nous pourrions utiliser la méthode des colonnes ou la méthode de la grille ou même une calculatrice. Voyons la méthode des colonnes.

Nous commençons par multiplier neuf par cinq pour obtenir 45. Nous plaçons cinq dans la colonne des unités et nous retenons ensuite le quatre. Nous calculons ensuite deux fois cinq, ce qui donne 10. Nous allons ajouter ce quatre, ce qui nous donne 14. Maintenant, on pourrait croire que l’opération suivante que nous allons faire est neuf fois un. Mais en fait, techniquement, nous multiplions neuf par dix. Nous ajoutons donc zéro ici. Neuf fois un, c’est neuf. Deux fois un, c’est deux. Et il ne reste plus qu’à additionner ces deux nombres. Et ainsi, nous constatons que 29 fois 15 est 435. Maintenant, puisque nous travaillons en mètres, l’aire de cette face que nous avons surlignée en jaune est de 435 mètres carrés.

Maintenant, en fait, si nous considérons la forme de notre prisme, nous savons qu’il y a une autre face identique à celle-ci. Elle sera à l’arrière de la figure. Nous avons donc deux rectangles d’une aire de 435 mètres carrés. Donc, nous pouvons ajouter cette mesure ici, ou nous pouvons alternativement multiplier 435 par deux. Trouvons une autre face. Nous allons passer à la face située sur le côté de la figure. Nous savons que la longueur de la base de ce rectangle est de 14 mètres et que sa hauteur est de 15 mètres. Et donc, en utilisant la formule, l’aire d’un rectangle est la base multipliée par la hauteur, l’aire de ce rectangle est de 14 fois 15.

Cette fois, calculons cela en utilisant la méthode de la grille. Nous décomposons 14 et 15 en leurs dizaines et unités. 10 fois 10 est 100, quatre fois 10 est 40, cinq fois 10 est 50, et cinq fois quatre est 20. 14 fois 15 est la somme totale de ces quatre valeurs. Cela donne 210 ou 210 mètres carrés. Encore une fois, nous savons que la face qui est parallèle à cela dans notre prisme, qui est ici, aura la même aire. Et donc nous ajoutons une autre mesure de 210 mètres carrés. Jusqu’à présent, nous avons calculé l’aire de quatre faces. Nous en avons deux autres à calculer.

Considérons la face rectangulaire en haut de notre figure. Nous savons que cette droite ici est parallèle à celle-ci, donc cette dimension doit être de 29 mètres. De même, cette dimension est la même que celle-ci. Elle est de 14 mètres. Et donc l’aire de la face supérieure de notre prisme est de 29 fois 14, ce qui fait 406 mètres carrés. Et nous savons que la face qui est parallèle à celle-ci, c’est-à-dire celle du bas, doit avoir la même aire. C’est une autre mesure de 406 mètres carrés. Nous avons maintenant une, deux, trois, quatre, cinq, six mesures comme nous l’avions demandé.

N’oubliez pas que l’aire de la surface est l’aire totale de toutes les faces, et donc nous allons finir par additionner toutes ces valeurs. La somme totale de ces six valeurs est de 2102, et donc l’aire de la surface du prisme rectangulaire est de 2102 mètres carrés. Maintenant, les unités sont vraiment importantes. Et une erreur courante ici est d’utiliser une unité de mesure cubique, comme les mètres cubes ou les centimètres cubes. Mais n’oubliez pas que lorsque nous travaillons avec des aires, nos unités sont au carré. Donc ici, nous travaillons avec des mètres carrés.

Nous allons maintenant voir un exemple similaire. Mais cette fois, nous allons calculer l’aire de surface d’un cube.

Calculez l’aire de surface d’un cube de 11 centimètres de long.

Dans cette question, on nous donne quelques informations sur un cube. Nous rappelons qu’un cube est un prisme rectangulaire dont les arêtes sont toutes de longueur égale. En fait, c’est un prisme rectangulaire dont les faces sont toutes carrées. Nous savons également que l’aire de surface est calculée en additionnant les aires de toutes les faces des figures tridimensionnelles. Et nous savons que les prismes rectangulaires et les cubes ont tous six faces. Cela signifie que si nous pouvons calculer l’aire d’une des faces de notre cube, alors nous pourrons trouver l’aire de surface totale en multipliant l’aire par le nombre de faces, par six. Ces carrés mesurent 11 centimètres par 11 centimètres. Et l’aire d’un carré est calculée en multipliant la longueur de sa base par sa hauteur ou, alternativement, en élevant au carré la dimension de la base.

Dans ce cas, l’aire d’une face, l’aire d’un de nos carrés, est donc de 11 fois 11. Cela fait 121. Nous travaillons en centimètres, donc les unités ici sont des centimètres carrés. Nous pouvons donc dire que l’aire de surface totale de notre cube est de six fois 121. Utilisons la colonne. Nous calculons un fois six, ce qui fait six. Deux fois six, c’est 12, donc nous mettons deux ici et nous retenons le un. Ensuite, un fois six à nouveau est six. Lorsque nous additionnons le un, nous obtenons sept. Cela signifie que six multiplié par 121 donne 726. Et donc, l’aire de la surface d’un cube de longueur 11 centimètres est de 726 centimètres carrés.

Maintenant, calculer l’aire de la surface des prismes dans un contexte réel peut rendre ce scénario un peu plus délicat. Voyons à quoi cela peut ressembler.

Supposons que la longueur de chaque arête d’un glaçon est de 19 centimètres. Le cube est coupé horizontalement en moitié, en deux prismes rectangulaires plus petits. Déterminez l’aire de surface de l’un des deux prismes.

Dans cette question, on nous donne quelques informations sur un cube. Et nous rappelons qu’un cube est un prisme rectangulaire dont les arêtes sont toutes de longueur égale. En fait, c’est un prisme rectangulaire dont les faces sont toutes carrées. Dans ce cas, chaque dimension est de 19 centimètres. Le problème est que ce n’est pas la forme dont nous voulons calculer l’aire de surface. La forme est coupée horizontalement en moitié. Et cela nous laisse avec deux prismes rectangulaires ou pavés droits identiques. Quelles sont donc les dimensions de chacun de ces prismes rectangulaires ?

Eh bien, nous savons que deux des dimensions restent de 19 centimètres. La troisième dimension, cependant, a été réduite de moitié ; elle sera de 19 divisé par deux centimètres. C’est un calcul que nous pouvons peut-être faire dans notre tête, ou nous pouvons utiliser la méthode de l’arrêt de bus. Nous disons, combien de deux font un ? Eh bien, c’est zéro. Alors, à la place nous disons, combien de deux font 19 ? C’est neuf, mais il nous reste un. Alors où va ce reste ? Nous ajoutons une virgule et un zéro. N’oubliez pas que 19 et 19.0 sont le même nombre. Nous portons notre virgule ici. Et nous nous demandons maintenant, combien de deux font 10 ? Eh bien, c’est cinq. Et nous voyons donc que la troisième dimension de notre prisme rectangulaire est de 9.5 centimètres.

Nous voulons calculer son aire de surface. C’est la somme totale des aires de toutes ses faces. Et en fait, nous rappelons qu’un prisme rectangulaire a six faces, donc nous allons devoir trouver six mesures d’aires. Nous allons commencer par considérer la face avant d’un prisme rectangulaire. Nous savons que l’aire d’un rectangle est la longueur de sa base multipliée par sa hauteur. La base de ce rectangle est de 19 centimètres. Sa hauteur est la longueur de cette arête. Celle-ci est parallèle à cette arête, donc elle mesure 9.5 centimètres. Et donc l’aire de ce premier rectangle est de 19 multipliée par 9.5, ce qui fait 180.5. Maintenant, nous travaillons en centimètres, ce qui fait 180.5 centimètres carrés.

Il y a une autre face exactement comme celle-ci, et elle se trouve en arrière de notre prisme. L’aire des deux faces combinées doit donc être de deux fois 180.5. Cela fait 361 centimètres carrés. Passons maintenant à l’aire de cette face. Encore une fois, son aire est de 19 fois 9.5. Donc, encore une fois, nous avons 180.5 centimètres carrés. Il y a une face identique à celle-ci qui se trouve à l’arrière de notre forme ici. Nous pouvons donc doubler cette mesure pour obtenir 361 centimètres carrés. Remarquez que nous aurions pu aussi multiplier 180.5 par quatre au départ. Nous avons calculé l’aire de quatre faces. Il nous en faut encore deux. Regardons la face du haut, qui est identique à celle du bas de notre forme.

Cette fois, ses dimensions sont de 19 centimètres et 19 centimètres. Souvenez-vous, c’est la face carrée de tout à l’heure. 19 fois 19 est 361. Et comme il y en a deux, on multiplie cela par deux. Et nous voyons que l’aire combinée de la face supérieure et de la face inférieure est de 722 centimètres carrés. L’aire de la surface est la somme totale de ces valeurs. C’est 361 plus 361 plus 722, ce qui fait 1444 centimètres carrés. Une erreur courante aurait été de calculer l’aire de surface du cube et de la diviser par deux. Cela ne nous donnerait pas une réponse correcte car nous n’avons pas réduit de moitié chaque face, mais seulement quatre sur six.

Nous allons maintenant voir comment les informations sur le périmètre de la base d’un cube peuvent nous aider à calculer son aire de surface.

Si le périmètre de la base d’un cube est de 54.4 centimètres, alors calculez son aire de surface totale.

Nous commençons par rappeler qu’un cube est une figure tridimensionnelle dont les faces sont toutes carrées. On nous donne quelques informations sur le périmètre d’un de ces carrés. Il est de 54.4 centimètres. Maintenant, nous savons que le périmètre est la distance totale autour de la figure, et nous savons aussi que tous les côtés d’un carré sont égaux. Maintenant, comme un carré a quatre côtés, nous pouvons calculer la longueur du côté de notre carré en divisant 54.4 par quatre. Et ainsi, nous trouvons que la longueur du côté de notre carré est de 13.6 centimètres. La question veut que nous trouvions l’aire de surface totale du cube. Nous savons maintenant que toutes les dimensions du cube sont de 13.6 centimètres, et que l’aire de surface d’une figure tridimensionnelle est la somme totale de toutes les aires de ses faces.

Nous commençons donc par calculer l’aire d’une des faces de notre cube. L’aire d’un carré est la base multipliée par la hauteur ou la longueur de ses côtés au carré. Cela fait 13.6 fois 13.6, soit 184.96 centimètres carrés. N’oubliez pas qu’un cube a six faces identiques, donc l’aire de surface est l’aire d’une de ses faces fois six. Cela fait six fois 184.96, ce qui nous donne une aire de surface totale de 1109.76 centimètres carrés.

Dans notre tout dernier exemple, nous allons voir comment nous pouvons calculer les dimensions d’un cube connaissant son aire de surface.

L’aire de surface d’un cube est de 1020 centimètres carrés. Quelle est l’aire d’une face du cube ?

N’oubliez pas que l’aire de surface d’une figure tridimensionnelle est l’aire totale de toutes ses faces. Nous cherchons à trouver l’aire de surface d’un cube. Nous savons maintenant qu’un cube est une forme tridimensionnelle dont les faces sont toutes carrées. Il a six faces identiques. Comme toutes ces faces auront exactement la même aire, alors nous pouvons calculer l’aire de l’une des faces en divisant l’aire de surface par six. Nous pouvons utiliser la méthode de l’arrêt de bus pour effectuer ce calcul. Nous disons, combien de six font un ? Eh bien, c’est zéro. Et au lieu de cela, nous nous demandons : combien de six font dix ? C’est un et il reste quatre.

Ensuite, nous demandons, combien de six font 42 ? C’est sept. Et combien de six font zéro ? C’est zéro. Cela signifie que 1020 divisé par six fait 170. La mesure de l’aire de surface est donnée en centimètres carrés. Maintenant, nous regardons toujours les aires, donc nos unités sont aussi en centimètres carrés. Et nous pouvons donc dire que l’aire d’une face de notre cube est de 170 centimètres carrés.

Dans cette vidéo, nous avons appris qu’un prisme est une figure tridimensionnelle avec une section transversale constante. Nous avons vu qu’un prisme rectangulaire en particulier a une section transversale rectangulaire mais aussi six faces rectangulaires, et qu’un cube est un prisme rectangulaire dont les dimensions sont toutes égales, dont les faces sont toutes carrées. Nous avons appris qu’on peut calculer l’aire de surface d’un prisme rectangulaire en additionnant l’aire des six faces. Et qu’il est important de se rappeler que lorsque nous travaillons avec l’aire et l’aire de surface, nous devons travailler avec des unités carrées, telles que les centimètres carrés et les mètres carrés.

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