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Vidéo de la leçon: Multiplication d’une expression algébrique par un monôme Mathématiques • Première préparatoire

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à multiplier une expression algébrique par un monôme.

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Transcription de la vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à multiplier une expression algébrique par un monôme. Commençons par penser à ce qu’est une expression algébrique. Une expression algébrique est une expression mathématique qui se compose de variables, de nombres et d’opérations. 𝑥 plus trois est un exemple d’expression algébrique. Elle comporte une variable, une opération et un nombre. 𝑥 plus 𝑦 serait également une expression algébrique.

N’oubliez pas que nous voulons multiplier les expressions algébriques par des monômes. Nous devons donc aussi nous souvenir de cette définition. Un monôme est une expression qui ne contient qu’un seul terme. Trois 𝑥𝑦 est un monôme. Comme les monômes peuvent inclure des nombres, des nombres entiers et des variables qui sont multipliés ensemble, les nombres par eux-mêmes sont également des monômes, tout comme les variables par elles-mêmes, ou même une variable qui est élevée à une certaine puissance. Cependant, il faut noter que cette puissance doit être un nombre entier positif ou zéro. Un monôme n’aura jamais une puissance négative. Passons maintenant à certaines des compétences dont nous aurons besoin pour pouvoir multiplier des monômes par des expressions algébriques.

La première chose que nous devons rappeler c’est la distributivité. Voici la distributivité représentée par des variables. Elle dit que 𝑎 fois 𝑏 plus 𝑐 est égale à 𝑎 fois 𝑏 plus 𝑎 fois 𝑐. Souvent, lorsque nous résolvons des problèmes, nous illustrons la distributivité à l’aide de flèches. Cela nous dit que multiplier un nombre ou une variable par un groupe de nombres additionnés ensemble revient à faire chaque multiplication séparément. En fait, nous pouvons déjà voir ici que 𝑏 plus 𝑐 est une expression algébrique, et 𝑎 est un monôme. 𝑎 fois 𝑏 plus 𝑐 est une multiplication d’un monôme par une expression algébriques.

Lorsqu’on travaille avec des problèmes comme ceux-ci, il y a une chose importante à laquelle il faut faire attention. Les erreurs de signes. Pour éviter les erreurs de signes, si nous avons quelque chose comme moins 𝑎 fois 𝑏 moins 𝑐, nous nous rappelons que nous multiplions la variable plus son signe par ces deux termes. Cela signifie qu’elle doit être moins 𝑎 fois 𝑏. Et puis pour notre deuxième terme, nous voyons que 𝑐 est aussi négative. On pourrait considérer que le fait de soustraire 𝑐 équivaut à additionner moins 𝑐, de sorte que lorsque nous faisons la distributivité, nous additionnons moins 𝑎 fois moins 𝑐. Moins 𝑎 fois 𝑏 est moins 𝑎𝑏, mais moins 𝑎 fois moins 𝑐 sera égal à plus 𝑎𝑐.

Ce processus n’est pas différent de la distributivité normale. Nous donnons simplement une attention particulière au signe de chaque valeur. Maintenant que nous avons réglé cela, nous sommes prêts à voir quelques exemples.

Calculez trois fois 𝑥 moins 𝑥 au cube.

D’abord, nous pouvons copier ce qui nous a été donné. Nous avons l’expression 𝑥 moins 𝑥 au cube et ensuite le nombre entier ou le monôme trois. Nous essayons de multiplier ces valeurs ensemble. Et pour faire cela, nous devons utiliser la distributivité. Celle-là nous dit que 𝑎 fois 𝑏 plus 𝑐 égale 𝑎 fois 𝑏 plus 𝑎 fois 𝑐. Souvent, lorsque nous travaillons avec la distributivité, nous la représentons par des flèches. Cela signifie que nous devons multiplier trois par 𝑥. Et nous devons faire attention à notre deuxième terme. Il est utile de réécrire cette soustraction avec un signe plus et un signe moins, car nous devons multiplier trois par moins 𝑥 au cube. Nous obtenons donc quelque chose comme ceci.

Maintenant, trois fois 𝑥 égale trois 𝑥 et trois fois moins 𝑥 au cube serait égal à moins trois 𝑥 au cube. Trois fois 𝑥 moins 𝑥 au cube égale trois 𝑥 moins trois 𝑥 au cube. Nous devons être très prudents. Certaines personnes pourraient voir ces deux coefficients de trois et penser qu’elles peuvent faire une certaine soustraction, mais ce n’est pas possible. Souvenez-vous que nous ne pouvons pas additionner ou soustraire des valeurs comme celles-ci lorsque leurs puissances sont différentes. Et cela signifie que trois 𝑥 moins trois 𝑥 au cube est dans sa forme la plus simple.

Voici un autre exemple.

Simplifiez trois 𝑥𝑦 fois quatre 𝑥 au cube 𝑦 au carré.

Nous devons penser à ce qui se passe lorsque nous avons un nombre entier suivi par plusieurs variables après lui. Nous savons que cela signifie que nous multiplions trois fois 𝑥 fois 𝑦. Et à l’intérieur des parenthèses, nous multiplions quatre fois 𝑥 au cube fois 𝑦 au carré. Qu’est-ce que cela signifie de multiplier ces valeurs ensemble ? À quoi cela ressemblerait-il ? Et bien, ça ressemblerait à quelque chose comme ça : trois fois 𝑥 fois 𝑦 fois quatre fois 𝑥 au cube fois 𝑦 au carré. Mais si nous voulions simplifier, alors nous pourrions regrouper. Nous pourrions regrouper ensemble les nombres entiers, trois fois quatre, et les termes de 𝑥, 𝑥 fois 𝑥 au cube, et ensuite les termes de 𝑦, 𝑦 fois 𝑦 au carré.

Trois fois quatre donne 12. Nous savons que 𝑥 est 𝑥 à la puissance un. Et nous savons aussi que 𝑥 à la puissance 𝑎 fois 𝑥 à la puissance 𝑏 égale 𝑥 à la puissance 𝑎 plus 𝑏. Cela signifie que nous devons additionner un plus trois pour que 𝑥 soit à la puissance quatre. Et nous ferons la même chose pour 𝑦, ce qui nous donnera 𝑦 au cube. Et nous n’avons pas besoin d’avoir ces signes de multiplication entre eux. Nous pouvons les écrire tous ensemble comme 12𝑥 à la puissance quatre 𝑦 au cube.

Maintenant, il y a beaucoup d’étapes. Vous vous demandez peut-être si vous devez écrire cela à chaque fois. Et vous n’auriez pas besoin de le faire. C’est juste pour vous montrer d’où nous tenons cela. Habituellement, si je devais résoudre quelque chose comme ceci, je dirais que nous devons multiplier les termes semblables. Trois fois quatre donnent 12, et 𝑥 à la puissance un fois 𝑥 au cube égale 𝑥 à la puissance quatre. Et enfin, 𝑦 à la puissance un fois 𝑦 au carré est 𝑦 au cube. Les deux méthodes montrent la forme simplifiée 12𝑥 à la puissance quatre 𝑦 au cube.

Dans notre exemple suivant, nous allons voir une expression qui comporte beaucoup plus de termes.

Simplifiez l’expression deux 𝑥 fois 𝑥𝑦 plus 𝑦 moins 𝑦 fois deux 𝑥 moins 𝑦 moins 𝑥 au carré fois deux 𝑦 moins un.

Tout d’abord, nous recopions notre expression. Dans cette expression, partout où nous voyons des parenthèses, nous devrons faire une certaine distribution. Commençons donc par là. Nous devons distribuer cette multiplication sur les deux termes entre parenthèses. Cela signifie que nous multiplions deux 𝑥 par 𝑥𝑦. Et ensuite, nous additionnerons deux 𝑥 fois 𝑦. Maintenant, pour notre deuxième parenthèse, nous devons être un peu plus prudents car nous multiplions par moins 𝑦. Et cela signifie que nous aurons moins 𝑦 multiplié par deux 𝑥.

Nous voulons écrire ceci comme plus moins 𝑦 fois deux 𝑥. Et ensuite nous multiplierons moins 𝑦 par moins 𝑦. Nous écrirons donc cela comme plus moins 𝑦 fois moins 𝑦. Et quand nous arrivons à la troisième parenthèse, nous voyons la même chose. Nous avons moins 𝑥 au carré que nous multiplions. Et nous écrirons cela comme plus moins 𝑥 au carré fois deux 𝑦 et ensuite moins 𝑥 au carré fois moins un, que nous écrirons comme plus moins 𝑥 au carré fois moins un.

Cette étape que j’ai présentée ici est en quelque sorte une étape intermédiaire. Une fois que vous serez vraiment bon dans ce genre de problèmes, vous n’aurez plus à écrire tout cela. Au lieu de cela, vous diriez simplement que deux 𝑥 fois 𝑥𝑦 égale deux 𝑥 au carré 𝑦, et que deux 𝑥 fois 𝑦 égale deux 𝑥𝑦. Nous réécrivons moins 𝑦 fois deux 𝑥 comme moins deux 𝑥𝑦. Cela s’explique par le fait qu’en général, nous indiquons le coefficient en premier. Et l’ordre de 𝑥 et 𝑦 n’a pas besoin d’être comme ça, mais il est bon de garder la cohérence tout au long de la même expression. À partir de là, moins 𝑦 fois moins 𝑦 est plus 𝑦 au carré. Et nous écrivons moins 𝑥 au carré fois deux 𝑦 comme moins deux 𝑥 au carré 𝑦. Et enfin, nous écrivons moins 𝑥 au carré fois moins un comme 𝑥 au carré.

Nous avons fait le développement et la multiplication, mais on nous demande de simplifier. Lorsque nous regardons le terme deux 𝑥 au carré 𝑦, nous voyons aussi un autre terme semblable qui est moins deux 𝑥 au carré 𝑦. Et lorsque nous additionnons ces deux valeurs ensemble, nous obtenons zéro. Nous reconnaissons également avoir le terme deux 𝑥𝑦 et le terme moins deux 𝑥𝑦. Lorsque nous les additionnons, nous obtenons zéro, ce qui signifie que nos valeurs restantes sont 𝑦 au carré et 𝑥 au carré. Nous pourrions donc écrire la forme simplifiée de cette expression comme 𝑥 au carré plus 𝑦 au carré.

Dans notre question suivante, nous utiliserons ce que nous savons sur la multiplication des expressions pour déterminer l’aire d’un rectangle.

Complétez : l’aire du rectangle de dimensions deux 𝑥 et 𝑥 plus 𝑦 est « espace vide ».

Si nous considérons un rectangle, puisque les dimensions sont deux 𝑥 et 𝑥 plus 𝑦, nous pouvons dire qu’un côté égale deux 𝑥 et l’autre 𝑥 plus 𝑦. Nous devons ensuite penser à comment nous trouvons l’aire d’un rectangle. L’aire d’un rectangle est la longueur multipliée par la largeur. Si nous remplaçons par deux 𝑥 pour la longueur et 𝑥 plus 𝑦 pour la largeur, pour trouver l’aire, nous devrons distribuer ces deux 𝑥 sur les deux termes 𝑥 et 𝑦. Deux 𝑥 fois 𝑥 égale deux 𝑥 au carré. Et deux 𝑥 fois 𝑦 égale deux 𝑥𝑦, ce qui fait que l’aire de ce rectangle est de deux 𝑥 au carré plus deux 𝑥𝑦.

Notre dernier exemple portera aussi sur l’aire, mais cette fois pour un triangle.

Un triangle a une hauteur de deux 𝑥 plus un et une base de deux 𝑥. Trouvez l’aire du triangle en fonction de 𝑥.

Nous ne pouvons pas savoir exactement comment est ce triangle. Mais si vous voulez faire un croquis d’un triangle, vous pouvez le faire. Nous savons que la base est deux 𝑥 et la hauteur est deux 𝑥 plus un. Maintenant, même si vous n’avez pas tracé de triangle, la chose la plus importante dont nous nous souvenons ici est la façon dont nous trouvons l’aire d’un triangle. L’aire d’un triangle est égale à un demi fois la hauteur fois la base. Et cela signifie que nous allons prendre une hauteur de deux 𝑥 plus un, l’insérer dans notre formule, et une base de deux 𝑥. Et puis, bien sûr, nous devrons faire diviser par un demi.

Lorsque vous regardez deux 𝑥 plus un fois deux 𝑥, vous reconnaissez peut-être que c’est l’ordre inverse de celui que nous voyons d’habitude. Lorsque nous multiplions un monôme par une expression algébrique, le plus souvent, vous écrivez d’abord le monôme parce que c’est le monôme que nous distribuons. Nous devons multiplier deux 𝑥 par deux 𝑥 et par un. Si vous vous sentez plus à l’aise de le faire avec le monôme en premier, vous pouvez le réécrire. Dans tous les cas, nous devons multiplier deux 𝑥 par deux 𝑥 et deux 𝑥 par un. Deux 𝑥 fois deux 𝑥 égale quatre 𝑥 au carré, et deux 𝑥 fois un égale deux 𝑥.

Cependant, nous ne pouvons pas oublier notre demi. Nous devrons faire cette distribution une deuxième fois. Nous devrons multiplier le demi par quatre 𝑥 au carré et par deux 𝑥. Quatre fois un demi est deux. Donc quatre 𝑥 au carré fois un demi est deux 𝑥 au carré. Et deux 𝑥 fois un demi égale 𝑥. On peut donc dire que l’aire d’un triangle ayant ces dimensions est égale à deux 𝑥 au carré plus 𝑥.

Avant de terminer, passons en revue nos points clés. Pour multiplier un monôme par une expression algébrique, utilisez la distributivité, qui nous dit que 𝑎 fois 𝑏 plus 𝑐 est égal à 𝑎 fois 𝑏 plus a fois 𝑐. Et enfin, assurez-vous de vérifier les erreurs de signes lorsque vous distribuez un monôme négatif.

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