Vidéo : Simplifier des expressions trigonométriques à l’aide de formules de l’angle double

Simplifie (1 − cos 2𝑥)/(1 + cos 2𝑥).

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Transcription de vidéo

Simplifier un moins cos deux 𝑥 sur un plus cos deux 𝑥.

Nous écrivons à nouveau la fraction. Pour simplifier, il semble que nous allons devoir réécrire cos deux 𝑥. Il y a fondamentalement trois façons de réécrire cos deux 𝑥 : l’un impliquant à la fois cos 𝑥 et sin 𝑥, un autre impliquant uniquement cos 𝑥 et le dernier impliquant uniquement sin 𝑥. Chacune de ces identités fonctionnerait, mais nous utiliserons la première. Nous verrons peut-être plus tard comment nous pourrions nous simplifier la vie en choisissant de réécrire cos deux 𝑥 autrement, mais pour le moment, nous ne faisons que remplacer cos deux 𝑥 par cos carré 𝑥 moins sin carré 𝑥.

Nous développons les parenthèses, en prenant soin de faire en sorte que le moins-moins sin carré 𝑥 du numérateur devienne un plus sin carré 𝑥. Ce que nous avons maintenant ne semble pas plus simple que ce que nous avions au début, mais nous pouvons appliquer une autre identité. sin au carré 𝑥 plus cos au carré 𝑥 vaut un ; En réarrangeant cela, nous obtenons un moins cos carré 𝑥 est égal à sin carré 𝑥 et un moins sin carré 𝑥 est égal à cos carré 𝑥. Nous remarquons que nous avons un moins cos carré 𝑥 dans le numérateur de notre fraction, de sorte que nous pouvons remplacer cela par un sin carré 𝑥. Et nous pouvons combiner ce sin au carré 𝑥 nous obtenons avec l’autre sin carré 𝑥 qui provient du numérateur pour obtenir deux sin carré 𝑥.

C’est une histoire similaire dans le dénominateur, où il y a un un et un moins sin carré 𝑥. En utilisant l’une de nos identités, nous pouvons remplacer ces deux termes par cos carré 𝑥. Nous prenons donc ce cos carré 𝑥 et l’ajoutons à l’autre cos carré 𝑥 que nous obtenons du dénominateur de la fraction et qui forment ensemble deux cos carrés 𝑥. Maintenant, il semble que nous ayons quelque chose de plus simple, mais nous pouvons aller plus loin. Avant de continuer à simplifier, notons que nous aurions pu passer à cette étape plus rapidement en réécrivant cos deux 𝑥 d’une autre manière.

Si le cos deux 𝑥 avait été réécrit au numérateur comme un moins deux sin carré 𝑥, nous aurions eu le numérateur deux sin carré 𝑥 immédiatement après la simplification. Nous n’aurions pas eu à utiliser l’identité supplémentaire un moins cos carré 𝑥 est égal au sin carré 𝑥. En effet, l’identité sin carré 𝑥 plus cos carré 𝑥 égale à un est déjà intégrée à l’identité cos deux 𝑥 est égal à un moins deux sin carré 𝑥. Vous pouvez obtenir cette identité en remplaçant le cos carré 𝑥 dans la première identité par un moins sin carré 𝑥.

De la même façon, si nous avions réécrit cos deux 𝑥 en deux cos carré 𝑥 moins un, le dénominateur serait devenu un plus deux cos carré 𝑥 moins un ou seulement deux cos carré 𝑥. Nous avons dû faire quelques efforts pour trouver ce dénominateur, en appliquant l’identité un moins sin carré 𝑥 est égal à cos carré 𝑥. Si nous avions été un peu plus intelligents sur l’identité de cos deux 𝑥 à appliquer, nous aurions pu obtenir cela tout de suite.

Dans tous les cas, nous nous retrouvons avec la fraction deux sin carré 𝑥 sur deux cos carré 𝑥. Nous pouvons neutraliser le facteur commun deux dans le numérateur et le dénominateur. Cela nous laisse avec le sin au carré 𝑥 sur le cos au carré 𝑥, qui est le même que le sin 𝑥 sur le cos carré 𝑥. Et comme le sin 𝑥 sur le cos 𝑥 est tan 𝑥, c’est tan carré 𝑥. Et comme nous ne pouvons pas simplifier davantage, voici notre réponse finale : un moins cos deux 𝑥 sur un plus cos deux 𝑥 sous forme simplifiée est tan carré 𝑥.

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