Vidéo de la leçon: Propriétés des parallélogrammes Mathematics

Transcription de la vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre ce que signifie qu’une figure soit un parallélogramme. Nous découvrirons ensuite les propriétés importantes d’un parallélogramme. Nous pouvons utiliser ces propriétés pour déterminer des angles ou des longueurs inconnus.

Commençons par une définition mathématique d’un parallélogramme. Il s’agit d’une figure quadrilatérale ou à quatre côtés, où chaque deux côtés opposés sont parallèles. Nous pourrions donc tracer un parallélogramme comme celui-ci ou un autre comme celui-ci ou même comme ceci. Il suffit que les deux paires de côtés opposés soient parallèles. Vous vous demandez peut-être pourquoi nous avons dessiné un rectangle ici, mais rappelez-vous qu’un rectangle n’est qu’un cas particulier de parallélogramme. Il aura toujours deux paires de côtés opposés parallèles. Les carrés et les losanges seraient également deux autres cas particuliers de parallélogramme.

Nous allons maintenant examiner de plus près certaines des propriétés importantes. Lorsque nous étudions les propriétés d’un parallélogramme, nous utilisons simplement un parallélogramme général plutôt qu’un parallélogramme particulier, comme un carré ou un rectangle. Nous avons donc ici le parallélogramme 𝐴𝐵𝐶𝐷. La première propriété d’un parallélogramme est que les côtés opposés sont parallèles. Et nous le savons grâce à la définition même d’un parallélogramme. La deuxième propriété des parallélogrammes est que les côtés opposés sont égaux ou congruents. Observons ce parallélogramme et voyons si nous pouvons comprendre pourquoi ce serait le cas. Nous pouvons diviser notre parallélogramme le long de la diagonale 𝐴𝐶. Nous pouvons alors envisager les angles que nous créons.

Si nous regardons l’angle 𝐵𝐴𝐶, puisque nous avons deux droites parallèles et une sécante qui les coupe, alors nous avons aussi un autre angle ici en 𝐴𝐶𝐷. Ces deux angles seraient donc égaux. Pour les mêmes raisons, nous pouvons dire que l’angle 𝐷𝐴𝐶 sera de même mesure que l’angle 𝐵𝐶𝐴, encore une fois des angles alternes. Si l’on regarde les longueurs, 𝐴𝐶 est commune à ces deux triangles. Ne vous inquiétez pas si vous n’avez pas fait trop d’efforts sur la superposition des triangles. Mais nous avons ici assez d’informations pour prouver que les deux triangles 𝐷𝐴𝐶 et 𝐵𝐶𝐴 sont superposables en utilisant les règles d’angle-côté-angle. Nous avons deux paires d’angles correspondants égaux et un côté correspondant de même longueur. Lorsque deux triangles sont superposables, cela signifie qu’ils ont exactement la même forme et la même taille.

Pour nous aider à prouver la propriété selon laquelle les côtés opposés sont égaux, puisque nous avons deux côtés égaux, alors nous pourrions dire que cette longueur de 𝐵𝐴 dans le triangle 𝐵𝐶𝐴 est égale à cette longueur de 𝐷𝐶 dans le triangle 𝐷𝐴𝐶. Ces deux côtés du parallélogramme sont donc de longueur égale. Dans le triangle 𝐵𝐶𝐴, la longueur 𝐵𝐶 sera égale à la longueur 𝐷𝐴. Nous avons donc montré que les deux autres côtés sont aussi de même longueur, ce qui prouve la deuxième propriété.

La troisième propriété des parallélogrammes est que les angles opposés sont égaux. Nous pouvons utiliser la superposition des deux triangles ici pour le démontrer. Nous pourrions voir comment la somme des angles ici en l’angle 𝐴 serait égale à la somme des angles ici en l’angle 𝐶. Nous pourrions écrire que l’angle 𝐷𝐴𝐵 est égal à l’angle 𝐵𝐶𝐷. Dans nos triangles superposables, cet angle en 𝐴𝐷𝐶 correspondra à cet angle en 𝐶𝐵𝐴. Ces deux angles seront donc égaux, ce qui prouve la troisième propriété.

La propriété suivante des parallélogrammes est que la somme de deux angles adjacents est de 180 degrés. On pourrait alternativement écrire que les angles adjacents sont supplémentaires. Ce que nous voulons dire par là, c’est que si nous prenons les angles 𝐴 et 𝐵 et les additionnons, alors leur somme sera de 180 degrés. Les angles 𝐵 et 𝐶 auront aussi une somme de 180 degrés, tout comme les angles 𝐶 et 𝐷. Nous pouvons le prouver en nous rappelant que les deux paires de côtés opposés sont parallèles. Observons les angles 𝐵 et 𝐶.

Nous pouvons rappeler que 𝐴𝐵 et 𝐷𝐶 sont parallèles, et que 𝐵𝐶 serait une sécante qui les coupe. Nous pouvons rappeler que la somme des angles intérieurs du même côté d’une sécante est de 180 degrés. Et donc, les angles 𝐵 et 𝐶 auront une somme de 180 degrés. Si nous regardons plutôt les angles 𝐶 et 𝐷, alors nos deux droites parallèles ici seraient 𝐵𝐶 et 𝐴𝐷. La sécante serait la droite 𝐶𝐷. Et nous pouvons donc voir à nouveau comment la somme de ces deux angles serait de 180 degrés.

La dernière propriété que nous allons étudier dans cette vidéo est que les diagonales d’un parallélogramme sont des bissectrices. Si elles sont des bissectrices, cela signifie qu’elles se croisent exactement en leurs milieux. Voyons donc pourquoi cela se produit. Nous pouvons nommer ce point où elles se croisent 𝐸. Regardons cet angle 𝐷𝐴𝐸. Nous devrions maintenant pouvoir reconnaître que cet angle 𝐴𝐶𝐵 lui sera égal, car nous avons nos droites parallèles et une sécante qui les coupe. De même, cet angle 𝐴𝐷𝐸 serait égal à l’angle 𝐸𝐵𝐶.

Vous vous rendez peut-être compte que nous travaillons avec une autre paire de triangles superposables. Mais nous devons montrer qu’il y a un côté correspondant de même longueur. Et nous avons déjà montré la propriété des parallélogrammes où les côtés opposés sont de longueur égale. Ainsi, la longueur 𝐴𝐷 sera égale à la longueur 𝐵𝐶. Et nous pouvons donc dire que le triangle 𝐴𝐷𝐸 est superposable au triangle 𝐶𝐵𝐸 en utilisant la règle de l’angle-côté-angle. Par conséquent, la longueur 𝐴𝐸 dans le triangle 𝐴𝐷𝐸 correspond à la longueur 𝐶𝐸 dans le triangle 𝐶𝐵𝐸. Et donc nous pouvons dire que ces deux longueurs sont égales, et nous avons également montré que cette diagonale 𝐴𝐶 a été coupée en son milieu.

Si nous regardons cette longueur 𝐷𝐸, nous savons qu’elle correspond à 𝐵𝐸 dans le triangle 𝐶𝐵𝐸. Et donc, ces deux longueurs sont égales et montrent que la deuxième diagonale a également été coupée en son milieu. Ça vaut la peine de noter ces propriétés d’un parallélogramme. Elles sont utiles pour les examens et nous en aurons besoin pour les questions suivantes. Voyons notre première question.

Laquelle des affirmations suivantes est vraie à propos d’un parallélogramme ? Option (A) il a quatre côtés de longueur égale. Option (B) il a quatre angles droits. Option (C) il a quatre côtés congruents. Option (D) il a exactement une paire de côtés parallèles. Ou option (E) il a exactement deux paires de côtés parallèles.

Pour répondre à cette question, nous devons nous rappeler ce qu’est exactement un parallélogramme. Il est défini comme un quadrilatère ou une figure à quatre côtés, avec deux paires de côtés opposés parallèles. Nous pourrions donc dessiner toute une série de parallélogrammes différents. L’important est que, dans chacun d’eux, les deux paires de côtés opposés soient parallèles. Examinons donc les différentes affirmations qui nous sont données.

Si nous examinons l’option (A), qui dit qu’il a quatre côtés de longueur égale, nous pouvons voir que les parallélogrammes que nous avons dessinés n’ont certainement pas quatre côtés de longueur égale. Nous aurions pu dessiner un carré ou même un losange, et cela aurait quatre côtés de longueur égale. Mais nous ne pouvons pas dire cela de chaque parallélogramme. L’option (A) est donc incorrecte.

L’option (C) est formulée différemment. Le mot « congruent » est utilisé ici pour désigner les côtés, ce qui signifie qu’il s’agit de quatre côtés égaux. Nous pouvons voir que ce ne serait pas le cas. L’option (B) dit qu’il a quatre angles droits. Eh bien, nous savons qu’un carré ou un rectangle a quatre angles droits, mais cela ne s’applique pas à tous les parallélogrammes. Ainsi, l’option (B) n’est pas correcte. L’option (D) dit qu’il a exactement une paire de côtés parallèles. Nous savons, d’après la définition, que les deux paires de côtés opposés doivent être parallèles, donc l’option (D) est incorrecte, ce qui nous laisse l’option (E). Il y a exactement deux paires de côtés parallèles.

La définition d’un parallélogramme nous dit que les deux paires de côtés opposés seront parallèles. L’option (E) est donc notre bonne réponse. Il a exactement deux paires de côtés parallèles.

Dans notre question suivante, nous allons déterminer des longueurs inconnues.

Déterminez les longueurs du segment 𝐶𝐷 et du segment 𝐷𝐴.

Si nous regardons cette forme 𝐴𝐵𝐶𝐷, nous pouvons voir qu’il s’agit d’un parallélogramme, mais comment pouvons-nous en être sûrs ? Eh bien, un parallélogramme est un quadrilatère dont les deux paires de côtés opposés sont parallèles. Nous pouvons voir à partir des marques que 𝐶𝐵 et 𝐴𝐷 sont parallèles, tout comme 𝐷𝐶 et 𝐴𝐵. La question nous demande de trouver la longueur de ce segment 𝐶𝐷 et celle du segment 𝐷𝐴. Pour ce faire, nous devons nous rappeler une propriété essentielle des parallélogrammes, à savoir que les côtés opposés sont égaux. Pour trouver la longueur de 𝐶𝐷 alors, elle sera la même que celle de 𝐴𝐵, qui est le côté opposé. Cela fait donc 15 centimètres.

Pour trouver la longueur de 𝐷𝐴, nous pouvons regarder le côté opposé, qui est 𝐵𝐶, et cela fait 13 centimètres. Nous pouvons alors répondre à la question avec nos deux longueurs, 𝐶𝐷 est égal à 15 centimètres et 𝐷𝐴 est égal à 13 centimètres.

Dans la question suivante, nous allons déterminer un angle inconnu dans un parallélogramme.

Sachant que 𝐴𝐵𝐶𝐷 est un parallélogramme et que la mesure de l’angle 𝐶 est égale à 68 degrés, trouvez la mesure de l’angle 𝐴.

Dans cette question, on nous dit que nous avons un parallélogramme. Et nous pouvons en fait voir que nous avons deux paires de côtés opposés parallèles. On nous dit que l’angle 𝐶 est de 68 degrés. Mais pour trouver l’angle 𝐴, nous devons nous rappeler une propriété importante des parallélogrammes. Dans un parallélogramme, les angles opposés sont égaux. Une fois que nous savons cela, il est très simple de voir que l’angle 𝐴 et l’angle 𝐶 sont des angles opposés, ce qui signifie qu’ils sont tous deux de 68 degrés. Nous pouvons donc répondre que l’angle 𝐴 est de 68 degrés.

Voyons une autre question.

𝐴𝐵𝐶𝐷 est un parallélogramme dans lequel la mesure de l’angle 𝐵𝐸𝐶 est égale à 79 degrés et la mesure de l’angle 𝐸𝐶𝐵 est égale à 56 degrés. Déterminez la mesure de l’angle 𝐸𝐴𝐷.

Comme on nous dit que 𝐴𝐵𝐶𝐷 est un parallélogramme, alors nous pouvons dire que 𝐷𝐶 est parallèle à 𝐴𝐵, et que 𝐴𝐷 est parallèle à 𝐵𝐶. On nous donne les mesures des deux angles 𝐵𝐸𝐶 et 𝐸𝐶𝐵, et on nous demande de trouver cet angle 𝐸𝐴𝐷. Afin de calculer la mesure de cet angle, nous devons nous rappeler certaines des propriétés des angles dans les parallélogrammes.

Tout d’abord, nous pouvons rappeler que les angles opposés sont égaux, et nous pouvons également rappeler que la somme de deux angles adjacents est de 180 degrés. Dans ce parallélogramme, l’angle qui est opposé à 𝐴 sera l’angle 𝐶. Cependant, nous ne connaissons pas cet angle total 𝐷𝐶𝐵. Nous savons seulement que 𝐸𝐶𝐵 est de 56 degrés. D’après notre deuxième propriété, si nous trouvons la mesure de l’angle de 𝐵, alors cela nous aidera à calculer 𝐴. Alors, comment pouvons-nous trouver la mesure de l’angle 𝐵 ?

En plus de faire partie d’un parallélogramme, cet angle 𝐵 fait également partie d’un triangle. Nous savons que la somme des angles d’un triangle est de 180 degrés. Donc cet angle 𝐶𝐵𝐸 est égal à 180 degrés moins 79 degrés moins 56 degrés. 180 degrés moins 79 nous donne 101 degrés, et en soustrayant 56 nous obtenons 45 degrés. N’oubliez pas que ce n’est pas notre réponse, car nous devons encore déterminer l’angle 𝐸𝐴𝐷. En utilisant la propriété selon laquelle la somme de deux angles adjacents est de 180 degrés, nous calculons alors 180 degrés moins 45 degrés, ce qui nous donne notre réponse, soit 135 degrés.

Voyons une dernière question.

Sur la figure, 𝐴𝐵𝐶𝐷 et 𝐶𝐵𝐻𝑂 sont des parallélogrammes. Déterminez la mesure de l’angle obtus 𝐴𝐵𝐻.

Comme on nous dit que 𝐴𝐵𝐶𝐷 et 𝐶𝐵𝐻𝑂 sont des parallélogrammes, donc cela signifie que dans 𝐴𝐵𝐶𝐷, 𝐴𝐷 et 𝐶𝐵 sont parallèles, et que 𝐶𝐵 et 𝑂𝐻 sont aussi parallèles. 𝐶𝐷 et 𝐴𝐵 sont parallèles. Et dans le parallélogramme inférieur, nous savons que 𝐶𝑂 et 𝐵𝐻 sont parallèles. Connaître les propriétés d’un parallélogramme nous aidera à trouver notre angle inconnu. On nous demande de trouver 𝐴𝐵𝐻, l’angle obtus, c’est donc cet angle marqué en orange.

Afin de trouver cet angle obtus, nous allons commencer par voir si nous pouvons trouver cet angle rentrant 𝐴𝐵𝐻. Considérons les parties de cet angle dans chaque parallélogramme, et nous commencerons par essayer de trouver cet angle 𝐴𝐵𝐶. Nous devons nous rappeler que dans un parallélogramme, les angles adjacents sont supplémentaires. Nous avons deux angles adjacents en cet angle 𝐵. Nous avons cet angle en 𝐴 et l’angle en 𝐶. L’un ou l’autre serait supplémentaire. Cependant, comme on nous donne en fait la mesure de cet angle 𝐷𝐴𝐵, alors utilisons cet angle pour nous aider à trouver notre inconnu. L’angle 𝐴𝐵𝐶 peut être trouvé en calculant 180 degrés moins 72 degrés, ce qui nous donne 108 degrés.

Voyons maintenant si nous pouvons trouver cet angle 𝐶𝐵𝐻, et une fois de plus, nous utiliserons le fait que les angles adjacents ont une somme de 180 degrés. Nous soustrayons donc 51 degrés de 180 degrés. Et nous pouvons nous rappeler que 180 moins 50 nous donne 130, et en soustrayant encore un, on obtient 129 degrés. Maintenant, lorsque nous regardons la figure, au point 𝐵, nous avons un angle de 108 degrés, un angle de 129 degrés, et nous voulons trouver la partie restante de cet angle. Nous devons nous rappeler que les angles autour d’un point ont une somme de 360 degrés. Il faut alors calculer 360 degrés moins 129 degrés moins 108 degrés. Nous pouvons donc répondre que l’angle obtus 𝐴𝐵𝐻 est de 123 degrés.

Nous allons maintenant résumer ce que nous avons appris dans cette vidéo. Nous avons commencé par définir un parallélogramme comme étant un quadrilatère dont les deux paires de côtés opposés sont parallèles. Nous pouvons dessiner de nombreux types de parallélogrammes différents, et ils comprennent même des carrés, des rectangles et des losanges. Nous avons vu certaines propriétés importantes des parallélogrammes. Par définition, les côtés opposés sont parallèles, mais nous avons également vu comment les côtés opposés sont de même longueur.

Nous avons vu deux propriétés concernant les angles des parallélogrammes. Premièrement, les angles opposés sont égaux, et deuxièmement la somme de deux angles adjacents est de 180 degrés. Enfin, nous avons vu que les diagonales d’un parallélogramme sont des bissectrices. Comme nous le voyons dans de nombreux problèmes de géométrie, nous devons également rappeler des faits essentiels, par exemple, la somme des angles d’un triangle est de 180 degrés, ou la somme des angles autour d’un point est de 360 degrés. Apprendre les propriétés des parallélogrammes nous aidera à résoudre ces types de problèmes, mais aussi bien d’autres.