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Vidéo question :: Déterminer l’intervalle d’accélération d’une particule se déplaçant le long de l’axe des 𝑥 Mathématiques • Troisième année secondaire

Une particule se déplace le long de l’axe des 𝑥. Sa vitesse 𝑣 en mètres par seconde est donnée par 𝑣 = 9 (𝑡 - 4) - 12 (𝑡 - 4) ³, où 𝑡 est le temps en secondes. Déterminez l’intervalle sur lequel la particule accélère dans le sens positif de l’axe des 𝑥.

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Transcription de la vidéo

Une particule se déplace le long de l’axe des 𝑥. Sa vitesse 𝑣 en mètres par seconde est donnée par 𝑣 est égal à neuf fois 𝑡 moins quatre moins 12 fois 𝑡 moins quatre au cube, où 𝑡 est le temps en secondes. Déterminez l’intervalle sur lequel la particule accélère dans le sens positif de l’axe des 𝑥.

On nous dit qu’une particule se déplace le long de l’axe des 𝑥. Cela signifie qu’elle se déplace en ligne droite. On nous dit que la vitesse de cette particule en mètres par seconde est donnée par 𝑣 est égal à neuf fois 𝑡 moins quatre moins 12 multiplié par 𝑡 moins quatre le tout au cube. Notez que 𝑡 est mesuré en secondes. Nous devons trouver l’intervalle sur lequel cette particule accélère dans le sens positif des 𝑥. Tout d’abord, rappelez-vous, pour trouver l’accélération d’une particule se déplaçant en ligne droite, nous voulons trouver le taux de variation de la vitesse par rapport au temps. Dans notre cas, il s’agit de d𝑣 sur d𝑡. Cela nous donnera une fonction pour l’accélération de notre particule à l’instant 𝑡.

Seulement, rappelez-vous, nous cherchons l’intervalle où notre particule accélère dans le sens positif des 𝑥. Bien sûr, pour que notre particule accélère dans le sens positif des 𝑥, notre taux de variation de vitesse par rapport au temps doit être positif. Nous voulons donc que 𝑎 de 𝑡 soit strictement supérieur à zéro. Alors, trouvons une expression pour l’accélération de notre particule. Rappelez-vous, il s’agit de la dérivée de la fonction de vitesse par rapport au temps. Cela nous donne la dérivée de neuf fois 𝑡 moins quatre moins 12 multiplié par 𝑡 moins quatre au cube par rapport à 𝑡.

Nous évaluerons cette dérivée terme par terme. Tout d’abord, en développant notre premier ensemble de parenthèses, nous obtenons 9𝑡 moins 36. Si nous dérivons cela, nous voyons que la dérivée de 9𝑡 par rapport à 𝑡 est neuf et que la dérivée de la constante moins 36 est égale à zéro. Ainsi, la dérivée de notre premier terme est simplement égale à neuf. Maintenant, pour évaluer notre deuxième terme, nous pourrions utiliser la règle de derivation en chaîne. Cependant, nous allons utiliser la règle générale de la puissance. Nous rappelons que la règle générale de puissance nous dit que, pour toute fonction dérivable 𝑓 de 𝑥 et toute constante 𝑛, la dérivée de 𝑓 de 𝑥 élevée à la puissance 𝑛 par rapport à 𝑥 est égale à 𝑛 fois 𝑓 prime de 𝑥 multipliée par 𝑓 de 𝑥 élevé à la puissance 𝑛 moins un.

Dans notre cas, nous dérivons par rapport à 𝑡. Notre fonction interne 𝑓 de 𝑡 sera 𝑡 moins quatre. Nous élevons cela à la puissance trois. Nous avons donc 𝑛 est égal à trois et nous voyons la dérivée 𝑓 prime de 𝑡 est juste égal à un. Ainsi, en appliquant la règle de puissance générale, la dérivée de notre deuxième terme est égale à moins 12 fois trois multiplié par un fois 𝑡 moins quatre le tout au carré. Nous pouvons simplifier le coefficient dominant pour trouver moins 36. Nous avons donc montré que l’accélération de notre particule à l’instant 𝑡 est égale à neuf moins 36 fois 𝑡 moins quatre au carré.

Rappelez-vous, nous voulons trouver les valeurs de 𝑡 où 𝑎 de 𝑡 est strictement supérieur à zéro. Nous devons donc résoudre cette expression strictement supérieure à zéro. Il y a plusieurs façons de le faire. Nous allons commencer par ajouter 36 fois 𝑡 moins quatre au carré aux deux côtés de l’équation. Cela signifie que nous devons maintenant résoudre l’inégalité neuf est supérieur à 36 fois 𝑡 moins quatre au carré. Ensuite, nous diviserons les deux côtés de l’inégalité par 36. Nous pouvons simplifier neuf divisé par 36 pour avoir un quart. Nous devons donc trouver les valeurs de 𝑡 où un quart est strictement supérieur à 𝑡 moins quatre au carré.

Nous pourrions le faire algébriquement. Cependant, nous allons résoudre cela graphiquement. Pour trouver nos valeurs de 𝑡, commençons par tracer la courbe représentant l’équation 𝑦 est égal à 𝑥 moins quatre le tout au carré. Pour tracer ce graphique, rappelez-vous que soustraire quatre de nos valeurs de 𝑥 revient à translater de quatre unités vers la droite. Ainsi, notre tracé serait juste une parabole translatée de quatre unités vers la droite.

Maintenant, traçons également la droite 𝑦 est égal à un quart. Rappelez-vous, nous recherchons les valeurs où un quart est strictement supérieur à 𝑡 moins quatre au carré. Nous pouvons trouver ces valeurs à partir de notre courbe. Nous pouvons voir que ce sera lorsque notre droite 𝑦 est égal à un quart est au-dessus de la courbe d’équation 𝑥 moins quatre le tout au carré. Ce sera entre les deux points d’intersection entre nos droites. Alors trouvons les points d’intersection. Nous voulons résoudre 𝑥 moins quatre au carré est égal à un quart. Nous voulons prendre les racines carrées des deux côtés de cette équation. La racine carrée de un quart est égale à un demi. Seulement rappelez-vous, nous aurons une racine carrée positive et une racine carrée négative.

Nous obtenons donc 𝑥 moins quatre est égal à plus ou moins un demi. Pour trouver 𝑥, nous allons ajouter quatre des deux côtés de l’équation. Ainsi, les coordonnées 𝑥 de nos points d’intersection sont quatre plus un demi et quatre moins un demi. Nous les écrirons comme sept sur deux et neuf sur deux. Ainsi, d’après notre croquis, un quart est strictement supérieur à 𝑥 moins quatre le tout au carré lorsque 𝑥 est compris entre sept sur deux et neuf sur deux. Cela indique que notre particule accélérera dans la sens positif des 𝑥 lorsque 𝑡 est compris entre sept sur deux et neuf sur deux exclus.

Rappelez-vous, la question veut que nous donnions cela comme un intervalle. Nous allons donc écrire cela comme l’intervalle ouvert de sept sur deux à neuf sur deux. Par conséquent, nous avions une particule qui se déplace le long de l’axe des 𝑥 avec une fonction de vitesse 𝑣 est égal à neuf fois 𝑡 moins quatre moins 12 multiplié par 𝑡 moins quatre le tout au cube. Ainsi, la particule accélérera dans le sens positif des 𝑥 lorsque 𝑡 est dans l’intervalle ouvert de sept sur deux à neuf sur deux.

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