Transcription de la vidéo
La figure montre un câble homogène 𝐴𝐷. Il a été plié en 𝐵 et 𝐶 pour former des angles droits. Le câble a été suspendu depuis 𝐴. Trouvez la mesure de l’angle d’inclinaison 𝐴𝐵 par rapport à la verticale lorsque le corps est suspendu dans sa position d’équilibre. Arrondissez votre réponse à la minute d’arc près.
Rappelons que lorsque nous suspendons un corps rigide à partir d’un point dans sa position d’équilibre, son centre de masse sera directement en dessous de ce point. Dans cet exemple, nous suspendons le corps à partir du point 𝐴. Nous pouvons approximativement imaginer que le corps tournera dans le sens des aiguilles d’une montre autour de 𝐴 avant de se stabiliser à sa position d’équilibre. Et il est raisonnable de supposer que le centre de masse du corps devrait être ici. Lorsque le corps atteindra sa position d’équilibre, son centre de masse sera directement au-dessous de 𝐴. Donc, cette ligne pointillée sera la verticale. Et on nous demande de trouver l’angle entre 𝐴𝐵 et la verticale, cet angle ici thêta.
Nous pouvons trouver cet angle d’abord en trouvant la distance horizontale du centre de masse de 𝐴, 𝑥, puis la distance verticale du centre de masse de 𝐴, 𝑦. Cet angle est aussi égal à thêta, car il est entouré par la même ligne entre 𝐴 et le centre de masse et une autre ligne verticale. Nous pouvons trouver thêta en utilisant la trigonométrie avec les valeurs de 𝑥 et 𝑦. Donc, nous devons d’abord trouver les distances horizontale et verticale du centre de masse au point 𝐴. Pour ce faire, nous devons d’abord trouver les masses et les centres de masses des trois barres qui composent 𝐴𝐷.
Puisque 𝐴𝐷 est homogène, peu importe la masse linéique du câble. Alors, supposons que nous avons une masse linéique de un kilogramme par centimètre de câble. La masse de 𝐴𝐵 est donc de 49 kilogrammes, la masse de 𝐵𝐶 est de 36 kilogrammes et la masse de 𝐶𝐷 est de 21 kilogrammes. Pour trouver le centre de masse du câble entier, nous pouvons modéliser chacune de ces trois barres comme une particule. Rappelons que le centre de masse d’une barre homogène est au milieu de la barre.
Revenons à notre schéma et définissons un système de coordonnées avec 𝑥 positif à droite et 𝑦 positif verticalement vers le bas avec 𝐴 à l’origine du système de coordonnées. Ainsi, par exemple, la coordonnée 𝑦 du point 𝐵 est 49. Le centre de masse de la barre 𝐴𝐵 est au milieu de 𝐴𝐵, qui est verticalement en dessous de 𝐴. Ainsi, il a une coordonnée 𝑥 de zéro et une coordonnée 𝑦 de 49 divisé par deux. De même, le centre de masse de 𝐵𝐶 a une coordonnée 𝑦 de 49 et une coordonnée 𝑥 de 36 divisé par deux, ce qui est égal à 18. Et enfin, le centre de masse de 𝐶𝐷 a une coordonnée 𝑥 de 36 et une coordonnée 𝑦 de 49 moins 21 sur deux. Et cela se simplifie à 77 sur deux.
Nous avons maintenant tout ce dont nous avons besoin pour trouver le centre de masse de tout le câble. Libérons d’abord un peu d’espace. Et rappelons que la coordonnée 𝑥 du centre de masse d’un système de particules CDM 𝑥 est donnée par la somme de tous les produits des masses des particules, 𝑚𝑖, fois leur coordonnée 𝑥, 𝑥𝑖, le tout divisé par la masse totale de toutes les particules. En substituant les masses des barres et les coordonnées 𝑥 de leurs centres de masses, nous obtenons 49 fois zéro plus 36 fois 18 plus 21 fois 36 le tout divisé par la masse totale 49 plus 36 plus 21. Tout cela revient à 1404 divisé par 106, qui est la coordonnée 𝑥 du centre de masse du câble.
Ensuite, nous devons faire la même chose pour les coordonnées 𝑦 de la barre. Encore une fois, substituer les masses des barres homogènes et leurs coordonnées 𝑦 nous donne 49 fois 49 sur deux plus 36 fois 49 plus 21 fois 77 sur deux, tout cela divisé par 49 plus 36 plus 21. Ainsi l’on obtient 3773 divisé par 106, qui est la coordonnée 𝑦 du centre de masse du câble.
Ensuite, pour trouver l’angle thêta que la droite 𝐴𝐵 fait avec la verticale, nous utilisons tangente thêta égale l’opposé 𝑥 sur l’adjacent. Donc thêta est donné par l’arc tangente de la coordonnée 𝑥 du centre de masse divisée par sa coordonnée 𝑦. Les dénominateurs identiques s’éliminent, nous donnant l’arc tangente de 1404 sur 3773. Cela nous donne notre réponse finale. Qui est thêta égale 20,41 degrés, ce qui est égal à 20 degrés et 25 minutes.
