Transcription de la vidéo
Calculez l’aire de la région plan délimitée par la courbe d’équation 𝑦 est égal à 𝑥 au carré plus six 𝑥 moins sept et l’axe des 𝑥.
Tout d’abord, nous pouvons voir que nous allons rechercher la zone délimitée par la courbe et l’axe des 𝑥. Bien, nous savons qu’au niveau de l’axe des 𝑥, 𝑦 va être égal à zéro. Par conséquent, la première chose que nous voulons faire est de trouver les racines de notre fonction. Pour ce faire, nous allons fixer notre fonction à zéro. Nous avons donc 𝑥 au carré plus six 𝑥 moins sept est égal à zéro.
Alors, pour trouver nos racines, nous factorisons notre polynôme. Nous obtenons donc 𝑥 plus sept multiplié par 𝑥 moins un. Juste pour rappeler comment nous avons procédé, nous avons cherché deux nombres qui, multipliés ensemble, nous donnent moins sept. Ainsi, plus sept et moins un nous donnent moins sept. Puis, nous cherchions deux nombres qui s’additionnent pour donner plus six. Ainsi, plus sept plus moins un nous donnent plus six.
Bien, maintenant, trouvons nos racines. Ainsi, nous pouvons dire que 𝑥 est égal à moins sept ou un. En effet, pour savoir quelles seraient nos racines, il suffit de fixer chacune de nos parenthèses à zéro. Ainsi, si notre première parenthèse était moins sept plus sept, cela nous donne zéro. De plus, zéro multiplié par quoi que ce soit nous donne zero, puis, pour notre deuxième parenthèse, un moins un nous donne zéro, encore une fois nous donnant un résultat de zéro pour la fonction.
Bien, nous avons à présent nos racines. Que faisons-nous ensuite ? Maintenant, nous allons essayer de dessiner la courbe représentative de notre fonction. Voici un tracé de la courbe d’équation 𝑦 est égal à 𝑦 au carré plus six 𝑥 moins sept 𝑦. Vous pouvez voir les racines sur l’axe des 𝑥. Nous savons que la figure est une parabole en forme de U car, si vous regardez notre équation, nous avons un terme positif sur 𝑥 au carré. Par conséquent, nous savons que cette courbe aura cette forme. Si le coefficient de 𝑥 au carré était négatif, nous aurions eu un U inversé.
Maintenant, cherchons la région qui nous intéresse. Bien, nous recherchons cette zone ici parce que nous recherchons la zone qui est délimitée par la courbe d’équation 𝑦 est égal à 𝑥 au carré plus six 𝑥 moins sept et l’axe des 𝑥 lui-même. Seulement, comment trouver l’aire de cette région ? Nous trouvons l’aire de cette région en utilisant une intégrale bornée. Nous devons donc calculer l’intégrale bornée de notre fonction avec les limites 𝑏 et 𝑎.
Voyons pourquoi. Par exemple, si nous avons une petite section ici que j’ai marquée en bleu, nous pouvons donc dire que la largeur de notre rectangle - de sorte que la petite section forme un rectangle - serait 𝑑𝑥. Il s’agit d’une très petite proportion de 𝑥. Notre hauteur à ce point sera juste égale à notre fonction, soit 𝑓 de 𝑥. Ainsi, si nous voulons trouver l’aire de notre rectangle que nous avons dessinée, nous devons alors multiplier nos deux côtés ensemble, soit 𝑓 de 𝑥, notre fonction, multipliée par 𝑑𝑥. Bien, cela nous donnerait juste l’aire d’un petit rectangle.
Cependant, si nous voulons trouver l’aire totale de notre zone, nous aurons besoin de beaucoup de ces petits rectangles. Cette intégrale bornée nous donne en fait l’aire d’un nombre infini de ces rectangles. Nous disons un nombre infini car si nous avions un nombre fini, alors nous ne ferions qu’une estimation de l’aire. Cependant, l’intégrale nous donne l’aire complète de cette zone.
Bien, maintenant, nous savons ce que nous devons faire. Utilisons ceci pour trouver l’aire de la région. Ainsi, nous savons maintenant que l’aire de la région va être égale à l’intégrale bornée de 𝑥 au carré plus six 𝑥 moins sept entre les limites un et moins sept. Seulement, comment pouvons-nous calculer une intégrale bornée ?
Voici la méthode : nous pouvons dire que si nous recherchons l’intégrale bornée d’une fonction entre les limites 𝑎 et 𝑏, alors elle est égale à une primitive de notre fonction avec 𝑏 substitué pour 𝑥 moins la même primitive de notre fonction avec 𝑎 - donc notre limite inférieure, substitué pour 𝑥. Bien, alors utilisons-ceci pour trouver la valeur de notre intégrale bornée.
La première étape consiste donc à intégrer notre fonction. Nous obtenons donc 𝑥 au cube sur trois plus six 𝑥 au carré sur deux moins sept 𝑥. Juste pour nous rappeler comment nous avons obtenu cela, nous allons examiner le deuxième terme. Si nous devions intégrer six 𝑥, alors nous obtenons six 𝑥 à la puissance un plus un, car vous ajoutez un à l’exposant. Ainsi, cela nous donne six 𝑥 au carré. Puis, vous divisez par le nouvel exposant - vous divisez donc par un plus un, soit deux, ce qui nous donne six 𝑥 au carré sur deux.
Nous simplifions et nous avons 𝑥 au cube sur trois plus trois 𝑥 au carré moins sept 𝑥 et nous devons calculer ceci entre les limites moins sept et un. D’accord, passons maintenant à l’étape suivante.
Maintenant, l’étape suivante consiste à remplacer par nos limites pour 𝑥. Nous allons donc obtenir un au cube sur trois plus un multiplié par un carré moins sept multiplié par un, puis nous soustrayons moins sept le tout au cube sur trois plus trois multiplié par moins sept au carré moins sept multiplié par moins sept, ce qui va être égal à moins trois plus deux tiers moins moins 343 sur trois. Soyez prudent ici, vous pouvez faire une erreur courante : en effet, si nous avons moins sept au cube, cela reste toujours une valeur négative qui est moins 343, puis nous avons plus 147 plus 49, vu que nous avions moins sept multiplié par moins sept qui donne un résulat positif et le tout est égal à moins 256 sur trois.
Seulement, ce résultat est négatif, n’est-ce pas ? Bien, en fait, nous pouvons voir que la région que nous examinons est en dessous de l’axe des 𝑥. Alors, nous nous attendons à obtenir un résultat négatif car, comme je l’ai dit, la région est en dessous de l’axe des 𝑥. Ainsi, nous pouvons dire que l’aire de notre région délimitée par la courbe d’équation 𝑦 est égal à 𝑥 au carré plus six 𝑥 moins sept et l’axe des 𝑥 est égal à 256 sur trois unités d’aire. Nous avons supprimé le moins car, en fait, nous examinons simplement l’aire de cette figure. Ainsi, la surface est de 256 sur trois.
