Transcription de la vidéo
Déterminez le maximum global et le minimum global de la fonction définie par 𝑦 est égal à moins deux 𝑥 au cube sur l’intervalle moins un, deux.
J’ai fait un dessin rapide juste pour nous aider à comprendre ce que nous voulons faire et aussi pour avoir une représentation rapide de notre fonction. Dans cette question, nous voulons savoir quelles sont le maximum et le minimum de la fonction dans l’intervalle de moins un à deux. Pour ce faire, nous allons utiliser une méthode. Cette méthode s’appelle la méthode des intervalles fermés. Elle s’appelle ainsi car nous avons un intervalle fermé entre moins un et deux.
Bien, quelle est donc la première étape ? La première étape consiste à évaluer les valeurs de 𝑓 de 𝑥 aux points critiques. Pour ce faire, nous évaluons la dérivée de notre fonction, ensuite nous fixons la dérivée à zéro car les points critiques se trouvent aux points où la pente est égale à zéro.
Ainsi, comme je l’ai dit, tout d’abord, nous allons dériver 𝑦 est égal à moins deux 𝑥 au cube. Lorsque nous faisons cela, nous obtenons moins six 𝑥 au carré, car nous avons multiplié notre exposant trois par notre coefficient moins deux, ce qui nous donne moins six. Ensuite, nous avons réduit notre exposant de un. Nous obtenons donc 𝑥 au carré.
Très bien, nous avons donc trouvé notre dérivée. Comme nous l’avons déjà dit, nous devons maintenant fixer la dérivée à zéro car nous voulons déterminer les valeurs critiques qui sont les points où la pente est égale à zéro. Nous avons donc zéro est égal à moins six 𝑥 au carré. Par conséquent, nous obtenons 𝑥 est égal à zéro. Ainsi, ceci - 𝑥 est égal à zéro - est en fait notre point critique.
Maintenant, nous n’avons pas encore terminé cette première étape car nous voulons déterminer les valeurs de 𝑓 de 𝑥 pour ce point critique. Ainsi, cela signifie remplacer la valeur 𝑥 est égal à zéro dans notre fonction d’origine, ce qui signifie que nous allons obtenir 𝑓 de zéro est égal à moins deux multiplié par zéro au cube, ce qui est égal à zéro. Très bien, nous avons terminé notre première étape.
Maintenant, la deuxième étape consiste à déterminer les valeurs de 𝑓 de 𝑥 à nos bornes. Nos bornes sont moins un et deux. Tout d’abord, nous allons commencer en moins un. Ainsi, si nous substituons moins un à 𝑥 dans notre fonction, nous obtenons moins deux multiplié par moins un au cube, ce qui nous donne moins deux multiplié par moins un. Nous obtenons donc la réponse deux car moins deux multiplié par moins un est égal à deux. Moins fois moins donne plus.
Très bien, nous avons déterminé la valeur de la fonction pour l’une de nos bornes. Trouvons maintenant l’autre. Pour ce faire, nous substituons 𝑥 est égal à deux dans notre fonction. Nous obtenons donc moins deux multiplié par deux au cube, ce qui nous donne moins deux multiplié par huit, ce qui est égal à moins 16. Bien, nous avons déterminé les trois points clés de notre courbe et leurs valeurs correspondantes, notamment la valeur lorsque 𝑥 est égal à moins un, lorsque 𝑥 est égal à deux et lorsque 𝑥 est égal à zéro.
Nous passons donc à notre troisième étape, qui dit que la plus grande des valeurs est le maximum local et la plus petite est le minimum local. Ainsi, si nous considérons nos valeurs, lorsque 𝑥 est égal à moins un, nous avons deux, qui est notre plus grande valeur - donc, le maximum local. Puis, lorsque 𝑥 est égal à deux, nous avons moins 16, qui est notre plus petite valeur – donc, le minimum local.
Par conséquent, la valeur minimale locale de la fonction définie par 𝑦 est égal à moins deux 𝑥 au cube sur l’intervalle moins un, deux est égal à moins 16. Le maximum local est égal à deux.
Nous pouvons vérifier cela en examinant notre dessin où nous pouvons voir sur la courbe le point qui est en 𝑥 est égal à moins un qui sera notre valeur maximale et le point qui est en 𝑥 est égal à deux qui sera notre valeur minimale. Notre représentation graphique est alors en accord avec les valeurs que nous avons trouvées.