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Déterminez l’ensemble des valeurs de 𝜃 vérifiant trois sinus au carré de 𝜃 moins deux sinus 𝜃 cosinus 𝜃 est égal à zéro, où 𝜃 est supérieur ou égal à zéro degré et strictement inférieur à 360 degrés. Donnez la réponse à la minute d’arc près.
Nous avons ici une équation trigonométrique. Cette équation n’est pas encore particulièrement facile à résoudre, puisque nous avons sinus 𝜃 et cosinus 𝜃 dans la même équation. Nous voyons que le tout est égal à zéro et que cela ressemble donc un peu à une expression du second degré. Pour résoudre une équation du second degré, nous commençons par factoriser. Alors, considérons comment factoriser l’expression trois sinus au carré de 𝜃 moins deux sinus 𝜃 cosinus 𝜃.
Nous devons remarquer que les deux termes, trois sinus au carré de 𝜃 et moins deux sinus 𝜃 cosinus 𝜃, ont un facteur commun de sinus 𝜃. Cela signifie que nous pouvons factoriser par ce facteur de sinus 𝜃. Nous divisons ensuite chaque terme par sinus 𝜃. Bien, trois sinus au carré 𝜃 divisé par sinus 𝜃 est égal à trois sinus 𝜃. Ensuite, moins deux sinus 𝜃 cosinus 𝜃 divisé par sinus 𝜃 est égal à moins deux cosinus 𝜃. Ainsi, notre équation devient sinus 𝜃 fois trois sinus 𝜃 moins deux cosinus 𝜃 est égal à zéro. Alors, que faire ensuite ?
Bien, nous rappelons que pour toute valeur de 𝜃, sinus 𝜃 et trois sinus 𝜃 moins deux cosinus 𝜃 ne sont que des nombres. Ainsi, pour que le produit de deux nombres soit égal à zéro, au moins un des deux nombres doit être égal à zéro. En d’autres termes, soit sinus 𝜃 est égal à zéro, soit trois sinus 𝜃 moins deux cosinus 𝜃 est égal à zéro. Pour résoudre cette première équation, nous allons utiliser les réciproques. Nous allons évaluer la réciproque de sinus de zéro et cela nous donne zéro.
Cependant, ce n’est pas la seule solution à l’équation sinus 𝜃 est égal à zéro. Rappelons que, nous voulons les valeurs de 𝜃 supérieures ou égales à zéro et strictement inférieures à 360 degrés. Ainsi, nous pouvons trouver l’autre solution en examinant la courbe 𝑦 égale sinus de 𝑥. Nous voyons qu’elle est égale à zéro ici, ici et ici. La première solution est lorsque 𝜃 est égal à zéro ou zéro degrés. La deuxième solution est lorsque 𝜃 est égal à 180 degrés. Ensuite, la troisième est lorsque 𝜃 est égal à 360 degrés. Seulement, nous avons dit que 𝜃 doit être inférieur à 360, alors nous allons ignorer cette solution.
En fait, au lieu d’utiliser la courbe, nous pouvons simplement rappeler que sinus 𝜃 est égal à sinus de 180 moins 𝜃. Étant donnée une solution 𝜃, nous pouvons calculer l’autre en la soustrayant de 180 degrés. Ensuite, nous calculons toute autre solution en ajoutant ou en soustrayant des multiples de 360. Ceci car la courbe est périodique et a une période de 360 degrés. Nous avons donc obtenu deux solutions à notre équation d’origine. Maintenant, qu’allons-nous faire de l’équation trois sinus 𝜃 moins deux cosinus 𝜃 égale zéro ?
Bien, ici, nous devons rappeler une identité trigonométrique ; à savoir tangente 𝜃 est égal à sinus 𝜃 sur cosinus 𝜃. Ajoutons deux cosinus 𝜃 aux deux côtés de cette équation. Cela nous donne trois sinus 𝜃 égale deux cosinus 𝜃. Ensuite, nous devons remarquer que si nous divisons maintenant par cosinus 𝜃, nous allons obtenir une expression semblable à notre expression de tangente. Nous avons trois sinus 𝜃 sur cosinus 𝜃 est égal à deux, que nous pouvons alors écrire comme trois tangente 𝜃 est égal à deux. Ensuite, nous divisons par trois pour obtenir une expression pour tangente 𝜃. Alors, tangente 𝜃 est égal à deux tiers.
Nous pouvons à présent résoudre comme nous l’avons fait avec l’équation de sinus 𝜃. Cette fois, 𝜃 est égal à la réciproque de tangente de deux tiers ou arctangente de deux tiers. Cela nous donne 𝜃 est égal à 33,69 etc. En utilisant le bouton des degrés, minutes et secondes d’une calculatrice, nous obtenons 33 degrés, 41 minutes et 24 secondes. Ainsi, à la minute d’arc près, nous avons 33 degrés et 41 minutes. Au cas où il n’y a pas ce bouton sur votre calculatrice, vous pouvez prendre la partie décimale et la multiplier par 60. Cela donne 41,4, qui à la minute d’arc près correspond à 41 minutes.
Pour déterminer les autres solutions dans notre intervalle de 𝜃, nous rappelons que la fonction tangente est périodique et qu’elle a une période de 180 degrés. Ainsi, nous obtenons une autre solution en additionnant 180 degrés à 33,69 etc. Cela nous donne 213,69 ou 213 degrés et 41 minutes. Nous pouvons utiliser les accolades pour représenter l’ensemble qui contient nos résultats. Nous avons 𝜃 est égal à zéro, 33 degrés et 41 minutes, 180 degrés ou 213 degrés et 41 minutes.
