Vidéo question :: Déterminer une inconnue étant donné la mesure de l’angle formé par une sécante et une tangente ainsi que l’expression de la mesure des deux arcs interceptés Mathématiques

Transcription de la vidéo

Sachant que, sur la figure illustrée, 𝑦 égal 𝑥 moins deux et 𝑧 égal deux 𝑥 plus deux, déterminez la valeur de 𝑥.

Examinons le schéma. On nous donne un cercle. Nous voyons que le segment de droite 𝐴𝐵 est une tangente à ce cercle car il coupe le cercle en un seul point. Le segment 𝐴𝐷 est un segment porté par une sécante du cercle car il coupe le cercle en deux points. 𝐴𝐵 et 𝐴𝐷 se coupent en un point à l’extérieur du cercle. Et on nous a donné la mesure de l’angle qu’ils forment.

Nous avons également des expressions pour les deux arcs interceptés. L’arc 𝐵𝐶 a une mesure de 𝑦 degrés et l’arc 𝐵𝐷 a une mesure de 𝑧 degrés. Mais étant donné que dans la question, nous avons également des expressions pour chacune de ces variables en fonction de l’inconnue 𝑥, c’est la variable que nous devons calculer. On peut donc ajouter ces expressions en fonction de 𝑥 au schéma.

Maintenant, pour résoudre ce problème, nous devons rappeler le théorème concernant l’angle entre une tangente et une sécante qui se croisent à l’extérieur d’un cercle. Il affirme que la mesure de l’angle formé par une sécante et une tangente qui se croisent en un point à l’extérieur d’un cercle est la moitié de la différence positive des mesures des arcs interceptés. La mesure de l’angle est de 50 degrés. Les arcs interceptés sont les arcs 𝐵𝐷 et 𝐵𝐶. Et nous pouvons voir sur la figure que l’arc 𝐵𝐷 a la plus grande mesure, nous pouvons donc écrire une équation. 50 degrés est égal à un demi facteur de la mesure de l’arc 𝐵𝐷 moins la mesure de l’arc 𝐵𝐶.

Mais, nous avons des expressions pour chacune de ces mesures d’arc en fonction de 𝑥. La mesure de l’arc 𝐵𝐷, qui était de 𝑧 degrés, est deux 𝑥 plus deux degrés. Et la mesure de l’arc 𝐵𝐶, qui était de 𝑦 degrés, est 𝑥 moins deux degrés. Nous avons donc une équation en 𝑥. 50 degrés est égal à un demi facteur de deux 𝑥 plus deux degrés moins 𝑥 moins deux degrés. Et en fait, puisque tous les termes de cette équation sont en degrés, nous n’avons pas besoin de laisser le symbole degré dedans.

Maintenant, nous pouvons résoudre cette équation et déterminer 𝑥. La première étape consiste à multiplier les deux membres par deux, ce qui donne 100 dans le membre de gauche et élimine la fraction dans le membre de droite. Dans le même temps, nous pouvons également distribuer le signe négatif dans la seconde paire de parenthèses. Et nous avons l’équation 100 égal deux 𝑥 plus deux moins 𝑥 plus deux. Ensuite, nous regroupons les termes similaires sur le membre de droite. Deux 𝑥 moins 𝑥 est égal à 𝑥 et deux plus deux font quatre. Donc, notre équation devient 100 égal 𝑥 plus quatre. Nous pouvons résoudre cette équation en une seule étape en soustrayant quatre à chaque membre et cela donne 96 égal 𝑥.

Ainsi, en rappelant le théorème des angles entre des sécantes et des tangentes et en écrivant puis en résolvant une équation algébrique, nous avons constaté que la valeur de 𝑥 est 96.